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Rêves Vision
Seconde

Trouver le coût minimal d'un atelier

Énoncé

Un atelier d'impression 3D modélise son coût de production journalier par C(x)=x2−8x+20C(x) = x^2 - 8x + 20, où C(x)C(x) est en euros et xx le nombre d'objets fabriqués (en dizaines). On admet que xx peut prendre n'importe quelle valeur réelle. Montre que C(x)=(x−4)2+4C(x) = (x - 4)^2 + 4 pour tout réel xx, puis déduis-en le coût minimal possible et la valeur de xx pour laquelle il est atteint.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour prouver l'égalité, développe le membre de droite (x−4)2+4(x - 4)^2 + 4 avec l'identité (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 et vérifie que tu retombes sur x2−8x+20x^2 - 8x + 20.
  2. Un carré comme (x−4)2(x - 4)^2 ne peut jamais être négatif : il vaut au minimum 00. Que peux-tu en déduire pour (x−4)2+4(x - 4)^2 + 4 ?
  3. Le minimum de C(x)C(x) est atteint quand le carré (x−4)2(x - 4)^2 est le plus petit possible, donc quand (x−4)2=0(x - 4)^2 = 0. Cherche la valeur de xx correspondante.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Développer la forme proposée

    On part de (x−4)2+4(x - 4)^2 + 4. D'après l'identité (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, on a (x−4)2=x2−8x+16(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16. Donc (x−4)2+4=x2−8x+16+4=x2−8x+20.(x - 4)^2 + 4 = x^2 - 8x + 16 + 4 = x^2 - 8x + 20.

  2. 2. Conclure sur l'égalité

    On retrouve exactement C(x)=x2−8x+20C(x) = x^2 - 8x + 20, donc C(x)=(x−4)2+4C(x) = (x - 4)^2 + 4 pour tout réel xx.

  3. 3. Encadrer le carré

    Un carré est toujours positif ou nul : (x−4)2≥0(x - 4)^2 \geq 0 pour tout réel xx. En ajoutant 44 aux deux membres, (x−4)2+4≥4(x - 4)^2 + 4 \geq 4, c'est-à-dire C(x)≥4.C(x) \geq 4.

  4. 4. Déterminer le minimum

    L'égalité C(x)=4C(x) = 4 a lieu lorsque (x−4)2=0(x - 4)^2 = 0, donc lorsque x=4x = 4. Le coût minimal vaut donc 44 euros, atteint pour x=4x = 4, c'est-à-dire un coût minimal de 44 euros obtenu pour 4040 objets fabriqués.
Réponse finale
C(x)=(x−4)2+4≥4,minimum 4 pour x=4C(x) = (x - 4)^2 + 4 \geq 4, \quad \text{minimum } 4 \text{ pour } x = 4
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