Seconde · Chapitre 4

Calcul littéral et identités remarquables

Cours de Seconde sur le calcul littéral : développer, factoriser et les trois identités remarquables, avec exercices corrigés pas à pas.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Calcul littéral et équations

Le calcul littéral, c’est calculer avec des lettres. Deux gestes inverses structurent tout le chapitre : développer (enlever les parenthèses) et factoriser (faire apparaître un produit). Les identités remarquables sont les raccourcis qui font gagner un temps précieux.

Développer et factoriser

Développer, c’est transformer un produit en une somme. Factoriser, c’est transformer une somme en un produit. Ce sont deux opérations inverses l’une de l’autre.

Distributivité

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $k$ : $k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Les trois identités remarquables

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Factoriser une expression

Chercher d’abord un facteur commun à tous les termes et le mettre en évidence.
Sinon, repérer si l’expression a la forme d’une identité remarquable ( $a^2 - b^2$ ou un carré).

L'erreur à éviter

$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ : il ne faut jamais oublier le double produit $2ab$ . De même, $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Développer (2x − 1)(x + 4)

Développer et réduire l'expression $B = (2x - 1)(x + 4)$ .

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Développer (x + 3) au carré

Développer et réduire l'expression $A = (x + 3)^2$ .

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Développer un abonnement de streaming

Une plateforme de streaming facture chaque mois $(2x + 5)$ euros, où $x$ est le nombre d'écrans en plus de l'écran de base. Développe et réduis les deux expressions suivantes : le prix sur $3$ mois $A = 3(2x + 5)$ , et l'expression $B = (x - 4)^2$ .

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Factoriser 9x au carré moins 16

Dans un atelier de customisation de sneakers, le bénéfice mensuel (en centaines d'euros) est modélisé par l'expression $F = 9x^2 - 16$ , où $x$ désigne le nombre de paires vendues par jour. Factorise complètement l'expression $F = 9x^2 - 16$ .

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Factoriser avec un facteur commun

Factoriser l'expression $D = (x + 2)(x - 3) + (x + 2)(2x + 1)$ .

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Factoriser x au carré moins 25

Factoriser l'expression $C = x^2 - 25$ .

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Bonus

Démontrer un résultat sur les entiers

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , le nombre $(n + 1)^2 - n^2$ est impair.

Débloquer l'exercice

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Trouver le coût minimal d'un atelier

Un atelier d'impression 3D modélise son coût de production journalier par $C(x) = x^2 - 8x + 20$ , où $C(x)$ est en euros et $x$ le nombre d'objets fabriqués (en dizaines). On admet que $x$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle. Montre que $C(x) = (x - 4)^2 + 4$ pour tout réel $x$ , puis déduis-en le coût minimal possible et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quelles sont les trois identités remarquables ?

(a+b) au carré égale a au carré plus 2ab plus b au carré ; (a−b) au carré égale a au carré moins 2ab plus b au carré ; et (a+b)(a−b) égale a au carré moins b au carré.

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en une somme ; factoriser fait l'inverse, transformer une somme en un produit.

Pourquoi (a+b) au carré n'est pas égal à a au carré plus b au carré ?

Parce qu'il manque le double produit : (a+b) au carré égale a au carré plus 2ab plus b au carré. Le terme 2ab est souvent oublié, c'est l'erreur la plus fréquente.