Automatismes · Seconde

Automatismes de seconde

Q: Comment calculer un pourcentage de tête, sans calculatrice ?

Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t divisé par 100. Le réflexe rapide consiste à passer par 10 % : 10 % d'un nombre s'obtient en divisant par 10. Par exemple 10 % de 80, c'est 8 ; donc 30 % de 80, c'est trois fois 8, soit 24. Pour 5 %, on prend la moitié de 10 %, et pour 20 %, le double de 10 %.

Q: Pourquoi une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au prix de départ ?

Parce que les évolutions successives se multiplient au lieu de s'additionner. Une hausse de 20 % correspond au coefficient 1,2 et une baisse de 20 % au coefficient 0,8. Le coefficient global vaut 1,2 fois 0,8, soit 0,96. On a donc une baisse globale de 4 %, et non un retour à la valeur initiale.

Q: Comment comparer deux nombres comme racine de 2 et 1,5 sans calculatrice ?

On compare leurs carrés, car la fonction racine carrée conserve l'ordre sur les nombres positifs. Le carré de racine de 2 vaut 2, et le carré de 1,5 vaut 2,25. Comme 2 est inférieur à 2,25, on en déduit que racine de 2 est inférieur à 1,5.

Fiche d'automatismes de Seconde : calcul mental, pourcentages et évolutions, calcul littéral et lecture graphique, le tout sans calculatrice.

Mis à jour en juin 2026

Au lycée, beaucoup de calculs doivent se faire de tête, vite et sans calculatrice : c’est ce qu’on appelle les automatismes. Cette fiche rassemble les réflexes de Seconde sur le calcul mental, les pourcentages, le calcul littéral et la lecture graphique. L’objectif n’est pas d’être un génie du calcul, mais d’avoir les bons gestes pour ne plus jamais bloquer.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais faire sans calculatrice :

du calcul mental efficace (fractions, puissances, racines) ;
prendre un pourcentage et enchaîner des évolutions avec le coefficient multiplicateur ;
développer et factoriser avec les identités remarquables ;
comparer deux nombres et faire une lecture graphique propre.

À quoi ça sert ?

Franchement ? À te faire gagner un temps fou. En contrôle, le voisin sort sa calculatrice pour faire $30\%$ de $80$ pendant que toi tu as déjà écrit $24$ . En physique, en éco, en SVT, on te demande sans arrêt des pourcentages et des ordres de grandeur. Et au bac, une partie des sujets se fait sans calculatrice : ces réflexes-là, c’est des points quasi gratuits si tu les travailles maintenant.

Rappels express : calcul mental

Pourcentages de tête. Passe par $10\%$ (diviser par $10$ ) :

$10\%$ de $80 = 8$ , donc $30\%$ de $80 = 3 \times 8 = 24$ .
$5\%$ = la moitié de $10\%$ ; $20\%$ = le double de $10\%$ .

Fractions. Additionner $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}$ : on met au même dénominateur, on n’additionne jamais les dénominateurs entre eux. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$

Puissances. $a^2$ se lit « $a$ au carré » ; quelques carrés à connaître par cœur : $11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $15^2 = 225$ .

Racines. $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{0} = 0$ , $\sqrt{1} = 1$ , $\sqrt{4} = 2$ , $\sqrt{9} = 3$ , $\sqrt{16} = 4$ , $\sqrt{25} = 5$ . Et toujours $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .

Rappels express : pourcentages et évolutions

Coefficient multiplicateur (CM). Une évolution de $t\%$ revient à multiplier par : $\text{CM} = 1 + \dfrac{t}{100}$

hausse de $20\%$ $\rightarrow$ $\times\, 1{,}2$ ;
baisse de $30\%$ $\rightarrow$ $\times\, 0{,}7$ .

Évolutions successives. On multiplie les coefficients, on ne les additionne pas : $\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2$

Du coefficient au taux. $t = (\text{CM} - 1) \times 100$ . Ainsi $\text{CM} = 0{,}96$ donne $t = -4\%$ .

Rappels express : calcul littéral

Développer, c’est passer d’un produit à une somme ; factoriser, c’est l’inverse. Les trois identités remarquables : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Pour factoriser, cherche d’abord un facteur commun, puis regarde si tu reconnais une identité ( $a^2 - b^2$ ou un carré). Et n’oublie jamais le double produit $2ab$ : $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ .

Rappels express : comparer et lire un graphique

Comparer sans calculatrice. On s’appuie sur le sens de variation des fonctions de référence :

racine carrée et fonction carré (sur les positifs) conservent l’ordre ;
la fonction carré inverse l’ordre sur les négatifs : si $a < b \le 0$ , alors $a^2 > b^2$ .

Lecture graphique. Lire $f(2)$ : je pars de $2$ sur l’axe des abscisses, je monte jusqu’à la courbe, je lis la valeur sur l’axe des ordonnées. Pour résoudre $f(x) = 3$ , je fais l’inverse : je pars de $3$ sur l’axe des ordonnées et je lis le ou les antécédents.

Exemple résolu

1. Pourcentage de tête. Un article à $80$ € est soldé de $30\%$ . Nouveau prix ?

$10\%$ de $80 = 8$ , donc $30\%$ de $80 = 3 \times 8 = 24$ € de réduction.
Prix soldé : $80 - 24 = 56$ €. (Ou directement $80 \times 0{,}7 = 56$ .)

Réponse : 56 €.

2. Évolutions successives. Un loyer augmente de $20\%$ , puis baisse de $20\%$ l’année suivante. Évolution globale ?

Coefficient global : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ .
Taux global : $t = (0{,}96 - 1) \times 100 = -4\%$ .

Réponse : une baisse globale de 4 %, pas un retour au point de départ.

3. Calcul littéral. Développe $(x + 5)^2$ et factorise $x^2 - 9$ .

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$ .
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$ .

Réponse : $x^2 + 10x + 25$ et $(x - 3)(x + 3)$ .

4. Comparer sans calculatrice. Range $\sqrt{2}$ et $1{,}5$ .

On compare les carrés : $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$ et $1{,}5^2 = 2{,}25$ .
Comme $2 < 2{,}25$ et que la racine carrée conserve l’ordre :

Réponse : $\sqrt{2} < 1{,}5$ .

Erreur classique

Faux : enchaîner deux évolutions en additionnant les pourcentages. $+20\%$ puis $-20\%$ donnerait $0\%$ , donc le prix de départ. Ou écrire $(x + 5)^2 = x^2 + 25$ en oubliant le double produit.

Vrai : les évolutions se multiplient : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ , soit $-4\%$ . Et le carré d’une somme garde son double produit : $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ .

À retenir

Pourcentage $\rightarrow$ passe par $10\%$ . Évolution $\rightarrow$ multiplie les coefficients $\left(1 \pm \dfrac{t}{100}\right)$ , ne les additionne pas. Carré d’une somme $\rightarrow$ n’oublie jamais le $2ab$ . Comparer $\rightarrow$ compare les carrés (en surveillant le signe). Travaille ces réflexes en boucle : c’est de la vitesse pure, donc des points faciles le jour du contrôle.

S'entraîner sur ces chapitres

Seconde

Calcul littéral et identités remarquables

Cours et exercices →

Seconde

Les pourcentages

Cours et exercices →

Seconde

Les fonctions de référence

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Comment calculer un pourcentage de tête, sans calculatrice ?

Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t divisé par 100. Le réflexe rapide consiste à passer par 10 % : 10 % d'un nombre s'obtient en divisant par 10. Par exemple 10 % de 80, c'est 8 ; donc 30 % de 80, c'est trois fois 8, soit 24. Pour 5 %, on prend la moitié de 10 %, et pour 20 %, le double de 10 %.

Pourquoi une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au prix de départ ?

Parce que les évolutions successives se multiplient au lieu de s'additionner. Une hausse de 20 % correspond au coefficient 1,2 et une baisse de 20 % au coefficient 0,8. Le coefficient global vaut 1,2 fois 0,8, soit 0,96. On a donc une baisse globale de 4 %, et non un retour à la valeur initiale.

Comment comparer deux nombres comme racine de 2 et 1,5 sans calculatrice ?

On compare leurs carrés, car la fonction racine carrée conserve l'ordre sur les nombres positifs. Le carré de racine de 2 vaut 2, et le carré de 1,5 vaut 2,25. Comme 2 est inférieur à 2,25, on en déduit que racine de 2 est inférieur à 1,5.