Seconde · Chapitre 11

Les fonctions de référence

Cours de Seconde sur les fonctions de référence : fonction carré, fonction inverse et fonction racine carrée. Courbes, parité, sens de variation et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Généralités sur les fonctions

Au-delà des fonctions affines, quatre fonctions reviennent sans cesse en mathématiques : le carré, le cube, l’inverse et la racine carrée. On les appelle fonctions de référence : il faut en connaître par cœur la courbe, le domaine et surtout le sens de variation, car ce sont elles qui permettent de comparer deux nombres sans calculatrice.

La fonction carré

Fonction carré

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ . Sa représentation graphique est une courbe appelée parabole, de sommet l’origine $O(0\,;\,0)$ .

Parité et symétrie

La fonction carré est paire : pour tout réel $x$ , $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ . Sa parabole est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Sens de variation

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Elle atteint son minimum $0$ en $x = 0$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$x^2$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

L'ordre s'inverse sur les négatifs

Sur les nombres négatifs, la fonction carré inverse l’ordre. Si $a < b \le 0$ , alors $a^2 > b^2$ .

Par exemple $-5 < -3$ , et pourtant $(-5)^2 = 25 > 9 = (-3)^2$ . Pour comparer deux carrés de négatifs, le plus « grand » carré est celui du nombre le plus éloigné de zéro.

La fonction cube

Fonction cube

La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$ . Sa représentation graphique est une courbe appelée cubique, qui passe par l’origine.

Parité et sens de variation

La fonction cube est impaire : pour tout réel $x$ , $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ . Sa courbe est donc symétrique par rapport à l’origine $O$ .

Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier : elle conserve l’ordre ( $a < b \Rightarrow a^3 < b^3$ ), contrairement à la fonction carré.

La fonction inverse

Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf $0$ ) par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Sa représentation graphique est une courbe en deux branches appelée hyperbole.

Parité et symétrie

La fonction inverse est impaire : pour tout $x \ne 0$ , $f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -f(x)$ . Son hyperbole est donc symétrique par rapport à l’origine $O$ .

Sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$\frac{1}{x}$	$0$	$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$	$0$

Décroissante, mais pas sur ℝ entier

On ne dit jamais que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}$ . Elle est décroissante sur chaque intervalle $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ pris séparément.

Contre-exemple : $-1 < 2$ , mais $\dfrac{1}{-1} = -1$ est inférieur à $\dfrac{1}{2}$ , alors qu’une fonction décroissante sur tout $\mathbb{R}$ aurait dû renverser l’inégalité. C’est le « saut » en $0$ qui interdit cette conclusion.

La fonction racine carrée

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ (uniquement les réels positifs ou nuls) par $f(x) = \sqrt{x}$ . Sa courbe part de l’origine $O$ et s’incurve vers le haut.

Sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

$x$	$0$		$+\infty$
$\sqrt{x}$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Comme elle est croissante, elle conserve l’ordre : si $0 \le a < b$ , alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Comparer deux nombres sans calculatrice

Identifier la fonction de référence en jeu (carré, inverse ou racine).
Repérer si les nombres comparés sont sur le même intervalle de monotonie.
Appliquer le sens de variation :
- fonction croissante → l’ordre est conservé ;
- fonction décroissante → l’ordre est inversé.

Exemple : pour comparer $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ , comme $2 < 3$ et que la racine est croissante, on conclut directement $\sqrt{2} < \sqrt{3}$ .

Résoudre l'équation $x^2 = a$

Soit $a$ un réel. L’équation $x^2 = a$ se résout selon le signe de $a$ :

si $a > 0$ : deux solutions $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ ;
si $a = 0$ : une solution $x = 0$ ;
si $a < 0$ : aucune solution (un carré n’est jamais négatif).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer des images (carré, inverse, racine)

On note $c$ la fonction carré, $i$ la fonction inverse et $r$ la fonction racine carrée. Calculer $c(-3)$ , $i(4)$ et $r(49)$ .

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Calculer des images par la fonction cube

Un studio de jeu vidéo modélise la taille (en Go) d'un monde ouvert par la fonction cube $f(x) = x^3$ , où $x$ est le nombre de zones du jeu. On note aussi que la fonction cube sert à mesurer un écart de version. Calculer $f(5)$ , $f(8)$ et $f(-2)$ , puis préciser le signe de chaque résultat.

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Comparer sans calculatrice

Sans utiliser la calculatrice, comparer chaque paire de nombres en justifiant par le sens de variation d'une fonction de référence. a) $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ ; b) $\dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{1}{7}$ ; c) $(-8)^2$ et $(-6)^2$ .

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Comparer des inverses de signes différents

Sur une appli de streaming, le « score de chargement » d'une vidéo est l'inverse de la note réseau $n$ , c'est-à-dire $\dfrac{1}{n}$ . Comparer chaque paire de scores en justifiant par le sens de variation de la fonction inverse, et sans calculatrice. a) $\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{3}$ ; b) $\dfrac{1}{-2}$ et $\dfrac{1}{-9}$ ; c) $\dfrac{1}{-4}$ et $\dfrac{1}{6}$ .

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Déterminer des antécédents

On note $c$ la fonction carré, $i$ la fonction inverse et $r$ la fonction racine carrée. a) Déterminer les antécédents de $36$ par $c$ . b) Déterminer l'antécédent de $\dfrac{1}{2}$ par $i$ . c) Déterminer l'antécédent de $5$ par $r$ .

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Résoudre une équation du type x au carré égale a

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. a) $x^2 = 25$ ; b) $x^2 = 7$ ; c) $x^2 = -4$ .

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Minimiser un ecart au carre

Un revendeur de sneakers vise un prix cible. Pour chaque paire, on note $e$ l'écart (en euros) entre le prix affiché et le prix cible : $e$ est négatif si la paire est sous le prix cible, positif si elle est au-dessus. La « pénalité » d'une paire est $P(e) = e^2$ . Trois paires ont les écarts $e_1 = -7$ , $e_2 = 4$ et $e_3 = -5$ . a) Sans calculatrice, déterminer laquelle des trois paires a la plus petite pénalité, en justifiant par les variations de la fonction carré. b) Quel écart $e$ rendrait la pénalité minimale, et que vaudrait alors cette pénalité ?

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Bonus

Résoudre une inéquation x au carré inférieur ou égal à 9 (bonus)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2 \le 9$ , en justifiant le raisonnement à l'aide de la parabole.

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Questions fréquentes

Quelles sont les trois fonctions de référence en Seconde ?

La fonction carré (x associe x au carré), la fonction inverse (x associe un sur x) et la fonction racine carrée (x associe racine de x). On en connaît la courbe, le domaine de définition, la parité et le sens de variation.

La fonction carré est-elle croissante ?

Non, pas partout. Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[. Sur les nombres négatifs, elle inverse l'ordre : si a < b ≤ 0, alors a au carré est supérieur à b au carré.

Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas décroissante sur ℝ ?

Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[, mais pas sur ℝ entier : par exemple −1 < 2 alors que un sur moins un, soit −1, est inférieur à un demi. La valeur 0 n'a d'ailleurs pas d'image.