Fiche de révision · Troisième

Revision brevet : calcul et algebre

Fiche de revision brevet en calcul et algebre : calcul litteral, equations, PGCD, nombres premiers, puissances, racines carrees et programme de calcul.

Mis à jour en juin 2026

Le brevet commence par une partie sans calculatrice d’environ 6 points où l’on attend des automatismes de calcul. Cette fiche rassemble l’essentiel du calcul et de l’algèbre de troisième : calcul littéral, équations, arithmétique (PGCD et nombres premiers), puissances et racines, et le redoutable programme de calcul. Chaque rappel est suivi d’un exemple recalculé avec sa réponse finale.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais, sans calculatrice :

développer et factoriser avec les trois identités remarquables ;
résoudre une équation du premier degré et une équation produit ;
calculer un PGCD et rendre une fraction irréductible ;
décomposer un nombre en facteurs premiers et reconnaître un nombre premier ;
appliquer les règles des puissances et simplifier une racine carrée ;
traiter un programme de calcul en démontrant le résultat avec une lettre.

À quoi ça sert le jour J ?

La première partie du brevet est faite pour te faire gagner des points vite, à condition d’avoir les réflexes. Pas de calculatrice : tu dois reconnaître d’un coup d’œil une identité remarquable, savoir que $\sqrt{50}$ « cache » un $5$ , et que simplifier $\dfrac{84}{126}$ revient à diviser par le PGCD. Apprends par cœur tes carrés parfaits ( $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ ) et les premiers nombres premiers ( $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ ) : c’est ta boîte à outils. Plus tu automatises, plus tu gardes du temps et de l’énergie pour la grosse partie « problème ».

Rappels : calcul littéral et équations

Développer, c’est passer d’un produit à une somme ; factoriser, l’inverse.

Les trois identités remarquables : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Pour factoriser : cherche d’abord un facteur commun, sinon repère une identité remarquable (un carré ou une différence de deux carrés $a^2 - b^2$ ).

Pour résoudre une équation du premier degré, on isole $x$ en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant des deux côtés par un même nombre non nul.

Équation produit : un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul. $A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0$

Exemple : développer, factoriser, résoudre

Développer $(2x - 3)^2$ avec l’identité $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (ici $a = 2x$ , $b = 3$ ) : $(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9.$

Factoriser $9x^2 - 25$ : c’est une différence de deux carrés, $9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$ , donc $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5).$

Résoudre l’équation du premier degré $5x - 3 = 2x + 9$ : $5x - 2x = 9 + 3 \;\Rightarrow\; 3x = 12 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{12}{3} = 4.$

Résoudre l’équation produit $(x + 4)(2x - 1) = 0$ . Chaque facteur égalé à $0$ : $x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \qquad\text{ou}\qquad 2x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{1}{2}.$

Solutions : $x = 4$ pour la première équation ; $x = -4$ ou $x = \dfrac{1}{2}$ pour l’équation produit.

Rappels : arithmétique (PGCD et nombres premiers)

Un nombre premier est un entier $\geqslant 2$ ayant exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Décomposer en facteurs premiers : on divise par $2$ , puis $3$ , $5$ , $7$ … jusqu’à atteindre $1$ .

Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun. Avec les facteurs premiers, c’est le produit des facteurs communs, chacun à son plus petit exposant.

Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que $1$ : on divise les deux par leur PGCD.

Exemple : PGCD et fraction irréductible

Rendre $\dfrac{84}{126}$ irréductible. On décompose les deux nombres : $84 = 2^2 \times 3 \times 7 \qquad 126 = 2 \times 3^2 \times 7.$ Les facteurs communs sont $2$ (plus petit exposant $1$ ), $3$ (exposant $1$ ) et $7$ (exposant $1$ ) : $\text{PGCD}(84\,;\,126) = 2 \times 3 \times 7 = 42.$ On divise le haut et le bas par $42$ , ce qui revient à faire apparaître ce facteur commun : $\dfrac{84}{126} = \dfrac{2 \times 42}{3 \times 42} = \dfrac{2}{3}.$

Conclusion : $\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}$ , et cette fraction est irréductible car $2$ et $3$ n’ont pas de diviseur commun autre que $1$ .

Rappels : puissances et racines carrées

Pour $a \neq 0$ et des exposants entiers relatifs $m$ et $n$ : $a^m \times a^n = a^{m + n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n} \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.$

Pour les racines, avec $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}.$ Pour simplifier $\sqrt{n}$ , on fait apparaître le plus grand carré parfait qui divise $n$ , puis on le sort de la racine.

Attention : $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général.

Exemple : puissances et racines

Puissances. Simplifier $\dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^{-1}}$ en utilisant les règles sur les exposants : $\dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^{-1}} = 2^{\,5 + (-3) - (-1)} = 2^{3} = 8.$

Simplifier une racine. Le plus grand carré parfait qui divise $50$ est $25$ , car $50 = 25 \times 2$ : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}.$

Additionner des racines. On simplifie chacune avant de regrouper : $\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}.$

Résultats : $\dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^{-1}} = 8$ , $\;\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ et $\;\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3}$ .

Méthode : un programme de calcul

Un programme de calcul est une suite d’instructions à partir d’un nombre de départ. Pour démontrer une propriété (« on retombe toujours sur… »), on ne teste pas : on appelle le nombre de départ $x$ et on traduit chaque étape en expression littérale, puis on développe ou on factorise pour conclure.

Note le nombre de départ $x$ .
Traduis chaque ligne du programme par un calcul sur $x$ .
Réduis l’expression, puis factorise si on demande de prouver un multiple, ou développe si on demande une forme précise.

Exemple : prouver le résultat d'un programme

Programme : « Choisis un nombre. Ajoute-lui $3$ . Élève le résultat au carré. Enlève le carré du nombre de départ. »

On appelle $x$ le nombre de départ et on traduit : $(x + 3)^2 - x^2.$ On développe $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , puis on enlève $x^2$ : $(x + 3)^2 - x^2 = x^2 + 6x + 9 - x^2 = 6x + 9.$ On factorise par $3$ : $6x + 9 = 3 \times (2x + 3).$ Le résultat s’écrit $3 \times (2x + 3)$ : c’est un multiple de $3$ , quel que soit le nombre choisi.

Vérification avec $x = 5$ : $(5 + 3)^2 - 5^2 = 64 - 25 = 39 = 3 \times 13$ . ✔

Conclusion : le résultat du programme est toujours un multiple de $3$ .

Erreurs classiques du brevet

Faux : $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . On oublie le double produit.

Vrai : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , donc $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ (et non $4x^2 + 9$ ).

Faux : dans $A \times B = 0$ , écrire $A = 0$ et $B = 0$ . Vrai : il suffit qu’un seul facteur soit nul, donc « ou ».

Faux : $\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{39}$ . La racine ne se distribue pas sur une somme. Vrai : on simplifie chaque racine, ce qui donne $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .

À retenir sans calculatrice

Carrés parfaits jusqu’à $144$ et nombres premiers jusqu’à $29$ appris par cœur : c’est la clé de la partie sans calculatrice. Pour factoriser, pense facteur commun d’abord, identité remarquable ensuite. Pour une fraction, divise par le PGCD d’un coup. Pour une racine, sors le plus grand carré parfait. Et pour un programme de calcul, pose $x$ et calcule : c’est la seule preuve qui compte, tester quelques nombres ne démontre rien.

S'entraîner sur ces chapitres

Troisième

Calcul littéral et équations

Cours et exercices →

Troisième

Arithmétique

Cours et exercices →

Troisième

Puissances et racines carrées

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Quels reflexes de calcul faut-il avoir au brevet sans calculatrice ?

La premiere partie du brevet compte environ 6 points a traiter sans calculatrice. Il faut savoir developper et factoriser avec les trois identites remarquables, resoudre une equation du premier degre et une equation produit, calculer un PGCD pour rendre une fraction irreductible, manipuler les puissances en ajoutant ou soustrayant les exposants, et simplifier une racine carree en sortant le plus grand carre parfait. Apprendre par coeur les carres parfaits jusqu'a 144 et les premiers nombres premiers fait gagner beaucoup de temps.

Comment factoriser puis resoudre une equation produit le jour du brevet ?

On factorise d'abord l'expression : on cherche un facteur commun, sinon on reconnait une identite remarquable comme une difference de deux carres a au carre moins b au carre, qui se factorise en (a moins b)(a plus b). On obtient alors un produit egal a zero. Comme un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul, on resout separement chaque facteur egal a zero. Par exemple, (x plus 4)(2x moins 1) egal zero donne x egal moins 4 ou x egal un demi.

A quoi sert le PGCD dans un probleme de brevet ?

Le PGCD, plus grand commun diviseur de deux entiers, sert surtout a deux choses. D'abord a rendre une fraction irreductible : on divise le numerateur et le denominateur par leur PGCD et la fraction ne se simplifie plus. Ensuite a resoudre les problemes de partage en parts egales, par exemple repartir 84 stylos et 126 crayons en paquets identiques sans reste : le nombre maximal de paquets est le PGCD de 84 et 126, soit 42. On le calcule en decomposant les deux nombres en facteurs premiers puis en gardant les facteurs communs avec leur plus petit exposant.