Troisième · Chapitre 6

Arithmétique

Cours de Troisième d'arithmétique (brevet) : divisibilité, critères, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, PGCD et fractions irréductibles. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Priorités opératoires

Pourquoi une fraction comme $\dfrac{126}{90}$ se simplifie-t-elle en $\dfrac{7}{5}$  ? Comment partager $24$ stylos et $36$ crayons en paquets identiques sans qu’il en reste ? L’arithmétique étudie les nombres entiers : leurs diviseurs, les nombres premiers qui en sont les briques de base, et le PGCD, l’outil clé pour simplifier les fractions et résoudre de nombreux problèmes du brevet.

Multiple et diviseur

Soit $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $b$ est un diviseur de $a$ (ou que $a$ est un multiple de $b$ ) lorsque la division de $a$ par $b$ tombe juste, c’est-à-dire qu’il existe un entier $k$ tel que : $a = b \times k$ Par exemple, $7$ est un diviseur de $63$ car $63 = 7 \times 9$ ; on dit aussi que $63$ est un multiple de $7$ .

Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne d’un entier $a$ (le dividende) par un entier $b$ non nul (le diviseur), c’est trouver l’unique couple d’entiers $(q, r)$ tel que : $a = b \times q + r \qquad \text{avec} \qquad 0 \leqslant r < b$ $q$ est le quotient et $r$ le reste. Le nombre $b$ divise $a$ exactement lorsque le reste $r$ est égal à $0$ .

Par exemple, $63 = 8 \times 7 + 7$ : le quotient de $63$ par $8$ est $7$ et le reste est $7$ . Comme $r \neq 0$ , $8$ n’est pas un diviseur de $63$ .

Critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :

par $2$ si son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ (le nombre est pair) ;
par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
par $10$ si son chiffre des unités est $0$ ;
par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Par exemple, $540$ se termine par $0$ donc il est divisible par $2$ , par $5$ et par $10$ ; la somme de ses chiffres est $5 + 4 + 0 = 9$ , divisible par $9$ (et donc par $3$ ).

Nombre premier

Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Les premiers d’entre eux sont : $2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ 29, \ 31, \ \dots$

Attention : $1$ n’est pas un nombre premier (il n’a qu’un seul diviseur). Et $2$ est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont divisibles par $2$ .

Reconnaître un nombre premier

Pour savoir si un entier $n \geqslant 2$ est premier, on cherche s’il admet un diviseur premier autre que lui-même. On le teste par les nombres premiers croissants ( $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ …), en s’arrêtant dès que le carré du diviseur dépasse $n$ .

Si l’un d’eux divise $n$ , alors $n$ n’est pas premier.
Si aucun ne le divise, alors $n$ est premier.

Exemple : $91$ n’est ni pair, ni divisible par $3$ (somme $9 + 1 = 10$ ) ni par $5$ ; mais $91 = 7 \times 13$ , donc $91$ n’est pas premier. En revanche $97$ n’est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , ni par $7$ (et $11^2 = 121 > 97$ ) : $97$ est premier.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier supérieur ou égal à $2$ s’écrit, de manière unique, comme un produit de nombres premiers (à l’ordre des facteurs près). C’est sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Par exemple : $360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

Décomposer un nombre en facteurs premiers

On divise successivement par les nombres premiers, du plus petit au plus grand, jusqu’à obtenir $1$ .

Diviser par $2$ tant que c’est possible.
Passer à $3$ , puis à $5$ , puis à $7$ , etc., en testant à chaque étape le plus petit nombre premier qui divise le quotient.
S’arrêter lorsqu’on atteint $1$ : le nombre est le produit de tous les diviseurs premiers utilisés.

Exemple avec $360$ : $360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 3 \times 15 = 2^3 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ Pour vérifier, on reconstitue le produit : $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ . ✔

PGCD (plus grand commun diviseur)

Le PGCD de deux entiers $a$ et $b$ est, comme son nom l’indique, le plus grand diviseur commun à $a$ et à $b$ . On le note $\text{PGCD}(a\,;\,b)$ .

Par exemple, les diviseurs communs à $24$ et $36$ sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ et $12$ : le plus grand est $12$ , donc $\text{PGCD}(24\,;\,36) = 12$ .

Calculer un PGCD avec les facteurs premiers

Lorsque les nombres sont grands, lister tous les diviseurs devient long. On utilise alors les décompositions en facteurs premiers : le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun affecté de son plus petit exposant.

Exemple avec $126$ et $90$ : $126 = 2 \times 3^2 \times 7 \qquad 90 = 2 \times 3^2 \times 5$ Les facteurs communs sont $2$ (exposant $1$ ) et $3$ (exposant $2$ ), donc : $\text{PGCD}(126\,;\,90) = 2 \times 3^2 = 18$

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que $1$ : on ne peut plus la simplifier.

Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Par exemple, $\text{PGCD}(126\,;\,90) = 18$ , donc : $\dfrac{126}{90} = \dfrac{7 \times 18}{5 \times 18} = \dfrac{7}{5}$ La fraction $\dfrac{7}{5}$ est irréductible car $7$ et $5$ n’ont pas de diviseur commun autre que $1$ .

Les pièges à éviter

Croire que $1$ est premier : un nombre premier a exactement deux diviseurs, or $1$ n’en a qu’un. De même, $0$ et $1$ ne sont jamais premiers.
Confondre multiple et diviseur : $7$ est un diviseur de $63$ , et $63$ est un multiple de $7$ - pas l’inverse.
Décomposition incomplète : il faut aller jusqu’à $1$ . Écrire $360 = 8 \times 45$ ne suffit pas car $8$ et $45$ ne sont pas premiers.
Oublier de vérifier l’irréductibilité : après simplification, on s’assure que numérateur et dénominateur n’ont plus de diviseur commun. Diviser par un diviseur commun trop petit laisse la fraction simplifiable.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Critères de divisibilité appliqués à un nombre

On considère le nombre $2\,754$ . En utilisant les critères de divisibilité, déterminer s'il est divisible par $2$ , par $3$ , par $5$ et par $9$ . Justifier chaque réponse.

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Diviseurs d'un entier et critères de divisibilité

1. Lister tous les diviseurs de $60$ . 2. Sans poser de division, dire si $540$ est divisible par $2$ , par $3$ , par $5$ , par $9$ et par $10$ en utilisant les critères de divisibilité.

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Reconnaître un nombre premier

Parmi les nombres $51$ , $91$ et $97$ , déterminer lesquels sont premiers. Pour ceux qui ne le sont pas, donner un produit de deux facteurs.

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Décomposition en produit de facteurs premiers

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $360$ et $588$ .

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PGCD et fraction irréductible

1. Calculer le PGCD de $126$ et $90$ à l'aide de leur décomposition en facteurs premiers. 2. En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{126}{90}$ .

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PGCD par l'algorithme d'Euclide et fraction irréductible

1. Calculer le PGCD de $120$ et $84$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide. 2. En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{84}{120}$ .

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Problème de bouquets identiques chez un fleuriste (type brevet)

Un fleuriste dispose de $132$ roses et de $88$ tulipes. Il souhaite composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs, chaque bouquet contenant le même nombre de roses et le même nombre de tulipes. 1. Quel est le nombre maximal de bouquets qu'il peut réaliser ? 2. Quelle est alors la composition de chaque bouquet ?

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Bonus

Problème de répartition en paquets identiques (type brevet)

Pour une kermesse, un professeur dispose de $24$ stylos rouges et $36$ stylos bleus. Il veut préparer des lots identiques en utilisant tous les stylos, chaque lot contenant le même nombre de stylos rouges et le même nombre de stylos bleus. 1. Quel est le nombre maximal de lots qu'il peut réaliser ? 2. Quelle est alors la composition de chaque lot ?

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Attention, 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur), et 2 est le seul nombre premier pair.

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible (2, puis 3, puis 5, puis 7…), on recommence avec le quotient obtenu, et ainsi de suite jusqu'à arriver à 1. Le nombre est alors égal au produit de tous les diviseurs premiers utilisés. Par exemple, 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 au cube × 3 au carré × 5.

Comment calculer le PGCD de deux nombres ?

Le PGCD est le plus grand diviseur commun aux deux nombres. On peut le trouver en listant les diviseurs communs et en prenant le plus grand, ou en décomposant les deux nombres en facteurs premiers puis en multipliant les facteurs communs avec leur plus petit exposant. Le PGCD sert surtout à rendre une fraction irréductible : on divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD.