Troisième · Chapitre 3

Calcul littéral et équations

Cours de Troisième sur le calcul littéral et les équations : développer, factoriser, les trois identités remarquables et l'équation produit, avec exercices corrigés.

10 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Le calcul littéral, c’est calculer avec des lettres. En troisième, deux gestes inverses structurent le chapitre : développer (enlever les parenthèses) et factoriser (faire apparaître un produit). On s’en sert ensuite pour résoudre des équations, jusqu’à l’équation produit, une nouveauté du programme.

Développer et factoriser

Développer, c’est transformer un produit en une somme. Factoriser, c’est transformer une somme en un produit. Ce sont deux opérations inverses l’une de l’autre.

Distributivité

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $k$ : $k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ La première est la simple distributivité, la seconde la double distributivité.

Les trois identités remarquables

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Factoriser une expression

Chercher d’abord un facteur commun à tous les termes et le mettre en évidence.
Sinon, repérer si l’expression a la forme d’une identité remarquable ( $a^2 - b^2$ ou un carré $a^2 \pm 2ab + b^2$ ).

Résoudre une équation du premier degré

On veut isoler l’inconnue $x$ . On a le droit d’ajouter ou de soustraire un même nombre des deux côtés, et de multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul.

Exemple : $3x - 1 = 8 \;\Rightarrow\; 3x = 9 \;\Rightarrow\; x = 3$ .

Équation produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul : $A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0$ Pour résoudre une équation produit, on résout séparément chaque facteur égalé à $0$ .

L'erreur à éviter

$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ : il ne faut jamais oublier le double produit $2ab$ . De même, dans un produit nul, $A \times B = 0$ ne veut pas dire $A = 0$ et $B = 0$ : il suffit qu’un seul des deux soit nul.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Développer (3x − 2)(x + 4)

Développer et réduire l'expression $B = (3x - 2)(x + 4)$ .

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Développer (x + 5) au carré

Développer et réduire l'expression $A = (x + 5)^2$ .

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Factoriser 7x au carré − 14x par facteur commun

Une plateforme de streaming modélise une grandeur par l'expression $D = 7x^2 - 14x$ . Factoriser cette expression.

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Factoriser 9x au carré − 30x + 25

Factoriser l'expression $D = 9x^2 - 30x + 25$ .

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Factoriser x au carré − 9

Factoriser l'expression $C = x^2 - 9$ .

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Programme de calcul : la pointure de sneakers

Pour personnaliser une paire de sneakers, un site propose ce programme de calcul : « Choisis un nombre, ajoute $3$ , élève le résultat au carré, puis soustrais le carré du nombre de départ. » On note $x$ le nombre choisi au départ. Montrer que le résultat du programme est toujours égal à $6x + 9$ , puis le factoriser.

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Résoudre 5x − 3 = 2x + 9

Résoudre l'équation $5x - 3 = 2x + 9$ .

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Mise en équation : dimensions d'un rectangle

Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $7$ cm. Son périmètre est égal à $54$ cm. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? Résoudre le problème à l'aide d'une équation.

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Mise en équation : économiser pour un smartphone

Lina veut s'acheter un smartphone qui coûte $390$ €. Elle a déjà économisé $90$ € et elle met de côté $25$ € chaque semaine. Au bout de combien de semaines aura-t-elle exactement la somme nécessaire ? Résoudre le problème à l'aide d'une équation.

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Bonus

Résoudre l'équation produit (x − 2)(2x + 3) = 0

Résoudre l'équation produit $(x - 2)(2x + 3) = 0$ .

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quelles sont les trois identités remarquables au programme de troisième ?

(a+b) au carré = a au carré + 2ab + b au carré ; (a−b) au carré = a au carré − 2ab + b au carré ; et (a+b)(a−b) = a au carré − b au carré.

Comment résoudre une équation produit comme (x−2)(2x+3) = 0 ?

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On résout donc x−2 = 0 et 2x+3 = 0 séparément, ce qui donne x = 2 ou x = moins trois demis.

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en une somme ; factoriser fait l'inverse, transformer une somme en un produit. Factoriser est la clé pour résoudre une équation produit.