Troisième · Chapitre 2

Puissances et racines carrées

Cours de Troisième (brevet) sur les puissances et les racines carrées : règles de calcul, puissances de 10, notation scientifique et simplification de racines. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Puissances et notation scientifique

Comment écrire en abrégé $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$ , ou la masse d’un électron qui s’écrit avec une trentaine de zéros ? Et que vaut exactement la longueur de la diagonale d’un carré de côté $6$ , ce nombre $\sqrt{72}$ qui n’a pas d’écriture décimale exacte ? Ce chapitre rassemble les puissances (l’écriture compacte d’un produit de facteurs identiques), la notation scientifique des physiciens, et la racine carrée, l’opération qui « annule » un carré.

Puissances d’un nombre

Puissance d'un nombre

Soit $a$ un nombre et $n$ un entier strictement positif. La puissance $a^n$ (lue « $a$ exposant $n$ ») est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$ De plus, pour tout nombre $a \neq 0$ : $a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ Par exemple, $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ , $\ 7^0 = 1$ et $3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$ .

Règles de calcul sur les puissances

Pour tout nombre $a \neq 0$ et tous entiers relatifs $m$ et $n$ : $a^m \times a^n = a^{m + n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}$ On additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient, on les multiplie pour une puissance de puissance.

Par exemple : $5^3 \times 5^4 = 5^{3 + 4} = 5^7$ , $\quad \dfrac{7^8}{7^5} = 7^{8 - 5} = 7^3$ , $\quad \left(2^3\right)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$ .

Puissances de 10

Les puissances de $10$ sont particulièrement simples. Pour tout entier $n \geqslant 1$ : $10^n = 1\underbrace{0\,0\cdots0}_{n \text{ zéros}} \qquad \text{et} \qquad 10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} = 0{,}\underbrace{0\cdots0}_{n-1 \text{ zéros}}1$ Ainsi $10^3 = 1\,000$ , $\ 10^6 = 1\,000\,000$ (un million), et $10^{-3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$ . Les règles ci-dessus s’appliquent : $10^4 \times 10^{-6} = 10^{4 + (-6)} = 10^{-2}$ .

Notation scientifique

La notation scientifique d’un nombre est son écriture sous la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leqslant a < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ un entier relatif.

Elle est commode pour les très grands ou très petits nombres : $58\,000 = 5{,}8 \times 10^4 \qquad 0{,}00042 = 4{,}2 \times 10^{-4}$

Écrire un nombre en notation scientifique

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs on l’a déplacée pour trouver l’exposant.

Pour un grand nombre, on déplace la virgule vers la gauche : l’exposant est positif.
Pour un nombre inférieur à $1$ , on déplace la virgule vers la droite : l’exposant est négatif.

Exemple avec $327{,}5$ : on écrit $3{,}275$ (virgule reculée de $2$ rangs vers la gauche), donc $327{,}5 = 3{,}275 \times 10^2$ .

Racine carrée

Racine carrée d'un nombre positif

Soit $a$ un nombre positif ( $a \geqslant 0$ ). La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l’unique nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ Par exemple, $\sqrt{49} = 7$ car $7^2 = 49$ , et $\sqrt{0} = 0$ . Un nombre dont la racine carrée est entière, comme $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ , est appelé carré parfait.

Attention : on ne peut pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif : $\sqrt{-9}$ n’existe pas.

Produit et quotient de racines

Pour tous nombres $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ et, si de plus $b \neq 0$ : $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ Par exemple : $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$ .

Simplifier une racine carrée

Pour simplifier $\sqrt{n}$ , on décompose $n$ en faisant apparaître le plus grand carré parfait qui le divise, puis on sort ce carré de la racine grâce à la règle $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

Exemple avec $\sqrt{72}$ :

On repère le plus grand carré parfait diviseur de $72$ : c’est $36$ , car $72 = 36 \times 2$ .
On sépare : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$ .
On conclut : $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .

Pour vérifier : $\left(6\sqrt{2}\right)^2 = 6^2 \times \left(\sqrt{2}\right)^2 = 36 \times 2 = 72$ . ✔

Les pièges à éviter

« La racine se distribue sur une somme » : c’est faux. En général, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Par exemple $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .
Confondre $a^{-n}$ et un nombre négatif : $3^{-2}$ vaut $\dfrac{1}{9}$ , c’est un nombre positif, pas $-9$ ni $-6$ .
Mauvaise notation scientifique : dans $a \times 10^n$ , le facteur $a$ doit vérifier $1 \leqslant a < 10$ . Écrire $58 \times 10^3$ ou $0{,}58 \times 10^5$ n’est pas la notation scientifique de $58\,000$ ; la bonne écriture est $5{,}8 \times 10^4$ .
Simplification incomplète d’une racine : il faut sortir le plus grand carré parfait. $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ est exact mais pas terminé, car $\sqrt{18}$ se simplifie encore.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer avec les règles sur les puissances

Écrire chaque expression sous la forme d'une seule puissance : $A = 5^3 \times 5^4$ , $\quad B = \dfrac{7^8}{7^5}$ , $\quad C = \left(2^3\right)^2$ .

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Écrire un nombre en notation scientifique

Donner la notation scientifique des nombres suivants : $58\,000$ , $\quad 0{,}00042$ $\quad$ et $\quad 327{,}5$ .

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Exposants négatifs et exposant zéro

Sur son téléphone, Yanis range des stickers de son jeu de foot préféré dans des dossiers. Pour s'entraîner au calcul, il doit donner la valeur exacte (sous forme de fraction ou d'entier) des trois nombres suivants : $A = 4^{-2}$ , $\quad B = 2^{-3}$ $\quad$ et $\quad C = 9^0 + 7^0$ .

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Calculs avec les puissances de 10

Léa compare des débits et des tailles de fichiers pour ses vidéos en ligne. Pour chaque calcul, écrire le résultat sous la forme d'une seule puissance de $10$ , puis donner son écriture décimale : $D = 10^4 \times 10^{-6}$ $\quad$ et $\quad E = \dfrac{10^7}{10^3}$ .

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Produit de racines carrées

Montrer que les nombres suivants sont entiers : $P = \sqrt{6} \times \sqrt{24}$ $\quad$ et $\quad Q = \sqrt{3} \times \sqrt{12}$ .

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Simplifier une racine carrée

Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible : $\sqrt{98}$ $\quad$ et $\quad \sqrt{75}$ .

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Bonus

Expression avec racines et puissances (bonus)

1. Écrire sous la forme $a\sqrt{2}$ l'expression $A = \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{50}$ . 2. Écrire sous la forme d'une seule puissance, puis calculer, le nombre $B = \dfrac{\left(2^3\right)^4 \times 2^{-5}}{\left(2^2\right)^3}$ .

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La diagonale du tapis de souris carré

Pour son installation gaming, Sofia achète un tapis de souris carré $ABCD$ de côté $30$ cm. Avant de le coller sur son bureau, elle veut connaître la longueur de sa diagonale $[AC]$ . 1. Donner la valeur exacte de $AC$ sous la forme $a\sqrt{b}$ , avec $b$ entier le plus petit possible. 2. En déduire une valeur approchée de $AC$ au dixième de centimètre près (on prendra $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ ).

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Que valent a puissance 0 et a puissance moins n ?

Pour tout nombre a non nul, a puissance 0 = 1 et a puissance moins n = 1 divisé par a puissance n. Une puissance d'exposant négatif désigne donc l'inverse de la puissance positive correspondante. Par exemple, 5 puissance 0 = 1 et 10 puissance moins 3 = 1 divisé par 10 au cube = un millième = 0,001.

Comment écrire un nombre en notation scientifique ?

On l'écrit sous la forme a × 10 puissance n, où a est un nombre décimal vérifiant 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif. Par exemple : 58 000 = 5,8 × 10 puissance 4 et 0,00042 = 4,2 × 10 puissance moins 4. La notation scientifique est pratique pour les très grands ou très petits nombres en physique.

Comment simplifier une racine carrée comme √72 ?

On décompose le nombre sous la racine en faisant apparaître le plus grand carré parfait qui le divise (4, 9, 16, 25, 36, 49…), puis on sort ce carré de la racine grâce à la règle √(a × b) = √a × √b. Par exemple, 72 = 36 × 2, donc √72 = √36 × √2 = 6√2. Attention : √(a + b) n'est pas égal à √a + √b.