Fiche de révision · Seconde

Revision : les fonctions en seconde

Q: Quelle est la difference entre l'image et l'antecedent d'un nombre ?

L'image de a par f est le nombre f(a) : on part de a (une abscisse) et on calcule la valeur obtenue. Un antecedent de b est au contraire un nombre x dont l'image vaut b, c'est-a-dire une solution de l'equation f(x) = b. Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir zero, un ou plusieurs antecedents.

Q: Comment retenir les variations des fonctions de reference ?

La fonction carre descend puis monte (decroissante sur les negatifs, croissante sur les positifs, minimum 0 en 0). La fonction racine carree monte toujours sur les nombres positifs. La fonction inverse descend sur chaque cote de zero, mais jamais sur la droite entiere a cause du saut en 0. Une fonction affine ax + b monte si a est positif et descend si a est negatif.

Q: Comment trouver une fonction affine quand on connait deux points ?

On calcule d'abord le coefficient directeur a en divisant la difference des ordonnees par la difference des abscisses des deux points. On trouve ensuite l'ordonnee a l'origine b en remplacant x et f(x) par les coordonnees d'un des deux points dans la formule f(x) = ax + b. On verifie enfin avec le second point.

Fiche de revision sur les fonctions en seconde : image, antecedent, lecture graphique, fonctions carre, inverse, racine, variations et fonctions affines.

Mis à jour en juin 2026

Les fonctions sont au coeur du programme de seconde. Cette fiche te fait revoir l’essentiel d’un coup : image et antecedent, lecture graphique, les trois fonctions de reference (carre, inverse, racine), leurs variations, et les fonctions affines. Garde-la sous la main avant un controle.

Objectifs

A la fin de cette fiche, tu sais :

calculer une image et chercher un antecedent ;
lire une image et un antecedent sur une courbe ;
reconnaitre les fonctions carre, inverse et racine carree (domaine, courbe, variations) ;
comparer deux nombres sans calculatrice grace au sens de variation ;
determiner et etudier une fonction affine $f(x) = ax + b$ .

A quoi ca sert ?

Une fonction, c’est juste une machine : tu entres un nombre, elle en ressort un seul autre. Toute l’annee tu vas decrire comment ces machines reagissent : est-ce que ca monte, est-ce que ca descend, quel est le plus grand resultat possible.

Au quotidien, une fonction affine modelise tout ce qui avance a vitesse reguliere : un forfait telephonique, le prix d’une course en taxi, une distance parcourue a allure constante. Savoir lire sa pente, c’est savoir si ca coute de plus en plus cher ou non.

Image et antecedent

Les definitions a connaitre

Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de definition.

L’image de $a$ par $f$ est le nombre $f(a)$ : on remplace $x$ par $a$ dans la formule.
Un antecedent de $b$ par $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = b$ : on resout l’equation $f(x) = b$ .

Retiens le sens : un nombre a une seule image, mais zero, un ou plusieurs antecedents.

Exemple resolu

On prend $f(x) = x^2 - 1$ .

Image de $3$ : on remplace $x$ par $3$ . $f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8.$
Antecedents de $3$ : on resout $x^2 - 1 = 3$ , soit $x^2 = 4$ , donc $x = 2$ ou $x = -2$ .

Conclusion : l’image de $3$ est $8$ ; le nombre $3$ a deux antecedents, $-2$ et $2$ .

Lecture graphique

Lire sur une courbe

Sur la courbe de $f$ tracee dans un repere :

image de $a$ : on part de $a$ sur l’axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu’a la courbe, puis on lit l’ordonnee du point ;
antecedent(s) de $b$ : on part de $b$ sur l’axe des ordonnees, on se deplace horizontalement jusqu’a la courbe, puis on lit la (ou les) abscisse(s).

Exemple resolu

Une fonction $f$ est donnee par ce tableau de valeurs (lu sur sa courbe) :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

Image de $-2$ : on lit dans la colonne $x = -2$ , donc $f(-2) = 3$ .
Antecedents de $0$ : on cherche les $x$ dont l’image vaut $0$ ; deux colonnes conviennent, $x = -1$ et $x = 1$ .

Conclusion : $f(-2) = 3$ , et $0$ a deux antecedents, $-1$ et $1$ .

Les fonctions de reference

Carre, inverse, racine carree

Trois fonctions a connaitre par coeur (domaine, courbe, variations) :

Fonction carre : $f(x) = x^2$ , definie sur $\mathbb{R}$ . Courbe : une parabole. Paire (symetrique par rapport a l’axe des ordonnees). Decroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , minimum $0$ en $x = 0$ .
Fonction inverse : $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , definie sur $\mathbb{R}^*$ (tous les reels sauf $0$ ). Courbe : une hyperbole en deux branches. Impaire. Decroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ (jamais sur $\mathbb{R}$ entier).
Fonction racine carree : $f(x) = \sqrt{x}$ , definie sur $[0\,;\,+\infty[$ (reels positifs ou nuls). Courbe partant de l’origine. Croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Les trois tableaux de variations

Fonction carre

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$x^2$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Fonction inverse

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$\dfrac{1}{x}$	$0$	$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$	$0$

Fonction racine carree

$x$	$0$		$+\infty$
$\sqrt{x}$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Exemple resolu - comparer sans calculatrice

On compare deux nombres en utilisant le sens de variation de la bonne fonction de reference.

Comparer $\sqrt{5}$ et $\sqrt{7}$ . On a $5 < 7$ et la racine carree est croissante (elle conserve l’ordre), donc $\sqrt{5} < \sqrt{7}$ .
Comparer $(-5)^2$ et $(-3)^2$ . Sur les negatifs, la fonction carre inverse l’ordre. Comme $-5 < -3$ , on obtient $(-5)^2 > (-3)^2$ , c’est-a-dire $25 > 9$ .

Conclusion : $\sqrt{5} < \sqrt{7}$ et $(-5)^2 > (-3)^2$ , sans aucun calcul de valeur approchee.

Erreur classique sur la fonction inverse

Faux : dire que la fonction inverse est decroissante sur $\mathbb{R}$ , puis ecrire que de $-1 < 2$ on deduit $\dfrac{1}{-1} > \dfrac{1}{2}$ .

Vrai : la fonction inverse n’est decroissante que sur chaque intervalle $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ pris separement, jamais en traversant $0$ . Ici $\dfrac{1}{-1} = -1$ est en realite inferieur a $\dfrac{1}{2}$ . C’est le saut en $0$ qui interdit de comparer ces deux fractions par le sens de variation.

Les fonctions affines

Definition et variations

Une fonction affine s’ecrit $f(x) = ax + b$ sur $\mathbb{R}$ , avec $a$ et $b$ deux reels.

$a$ est le coefficient directeur (la pente), $b$ l’ordonnee a l’origine (le point $(0\,;\,b)$ ).
Sa courbe est une droite.
Variations : croissante si $a > 0$ , decroissante si $a < 0$ , constante si $a = 0$ .
Si $b = 0$ , la fonction est lineaire et sa droite passe par l’origine.

A partir de deux points d’abscisses $x_1 \ne x_2$ , le coefficient directeur vaut : $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$

Exemple resolu - trouver une fonction affine

On cherche la fonction affine $f$ telle que $f(1) = 5$ et $f(3) = 1$ .

Coefficient directeur : on prend les deux points $(1\,;\,5)$ et $(3\,;\,1)$ . $a = \dfrac{1 - 5}{3 - 1} = \dfrac{-4}{2} = -2.$
Ordonnee a l’origine : on remplace dans $f(x) = -2x + b$ avec le point $(1\,;\,5)$ : $5 = -2 \times 1 + b, \quad\text{donc}\quad b = 5 + 2 = 7.$
Verification avec l’autre point : $f(3) = -2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1$ . C’est correct.

Conclusion : $f(x) = -2x + 7$ . Comme $a = -2 < 0$ , cette fonction est decroissante.

A retenir

Image : on remplace $x$ . Antecedent : on resout $f(x) = b$ .
Lecture graphique : image, on part de l’axe des abscisses ; antecedent, on part de l’axe des ordonnees.
Carre : descend puis monte, minimum $0$ . Racine : monte toujours. Inverse : descend de chaque cote de $0$ .
Croissante conserve l’ordre, decroissante l’inverse : c’est ce qui permet de comparer sans calculatrice.
Affine $ax + b$ : le signe de $a$ donne le sens de variation.

S'entraîner sur ces chapitres

Seconde

Généralités sur les fonctions

Cours et exercices →

Seconde

Les fonctions de référence

Cours et exercices →

Seconde

Les fonctions affines

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Quelle est la difference entre l'image et l'antecedent d'un nombre ?

L'image de a par f est le nombre f(a) : on part de a (une abscisse) et on calcule la valeur obtenue. Un antecedent de b est au contraire un nombre x dont l'image vaut b, c'est-a-dire une solution de l'equation f(x) = b. Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir zero, un ou plusieurs antecedents.

Comment retenir les variations des fonctions de reference ?

La fonction carre descend puis monte (decroissante sur les negatifs, croissante sur les positifs, minimum 0 en 0). La fonction racine carree monte toujours sur les nombres positifs. La fonction inverse descend sur chaque cote de zero, mais jamais sur la droite entiere a cause du saut en 0. Une fonction affine ax + b monte si a est positif et descend si a est negatif.

Comment trouver une fonction affine quand on connait deux points ?

On calcule d'abord le coefficient directeur a en divisant la difference des ordonnees par la difference des abscisses des deux points. On trouve ensuite l'ordonnee a l'origine b en remplacant x et f(x) par les coordonnees d'un des deux points dans la formule f(x) = ax + b. On verifie enfin avec le second point.