Seconde · Chapitre 2

Généralités sur les fonctions

Cours de Seconde sur les généralités des fonctions : image et antécédent, ensemble de définition, lecture graphique, tableau de variations, extremums et parité. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Fonctions linéaires et affines

Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un seul autre nombre. Tout le programme de l’année - fonctions affines, carré, inverse, racine - repose sur ce chapitre : savoir calculer une image, chercher un antécédent, déterminer un ensemble de définition et lire le comportement d’une courbe dans un tableau de variations.

Image et antécédent

Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de définition.

L’image de $a$ par $f$ est le nombre noté $f(a)$ .
Un antécédent de $b$ par $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = b$ .

Une image, mais plusieurs antécédents possibles

Un nombre $a$ a toujours une seule image $f(a)$ . En revanche, un nombre $b$ peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents.

Pour la fonction carré ( $f(x) = x^2$ ), le nombre $9$ a deux antécédents ( $-3$ et $3$ , car $(-3)^2 = 3^2 = 9$ ), tandis que $-4$ n’en a aucun (un carré n’est jamais négatif).

Calculer une image, chercher un antécédent

Pour une fonction donnée par une formule $f(x) = \dots$ :

Image de $a$ : on remplace $x$ par $a$ dans la formule et on calcule $f(a)$ .
Antécédent(s) de $b$ : on résout l’équation $f(x) = b$ d’inconnue $x$ .

Exemple avec $f(x) = 2x + 1$ : l’image de $3$ est $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$ ; l’antécédent de $5$ s’obtient en résolvant $2x + 1 = 5$ , soit $x = 2$ .

Les différentes façons de définir une fonction

Trois représentations

Une même fonction peut être donnée de trois manières :

par une formule (ou expression algébrique), par exemple $f(x) = x^2 - 1$ ;
par un tableau de valeurs, qui donne les images de quelques nombres ;
par une courbe (sa représentation graphique dans un repère).

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

Lecture graphique d'une image et d'un antécédent

Sur la courbe d’une fonction $f$ tracée dans un repère :

pour lire l’image de $a$ : on part de $a$ sur l’axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée du point obtenu ;
pour lire un antécédent de $b$ : on part de $b$ sur l’axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu’à la courbe, puis on lit la (ou les) abscisse(s).

Ensemble de définition

L’ensemble de définition de $f$ , souvent noté $\mathcal{D}_f$ , est l’ensemble de tous les nombres $x$ pour lesquels $f(x)$ peut être calculé.

Les deux interdits du calcul

Pour déterminer un ensemble de définition, on traque deux situations interdites :

une division par $0$ : un dénominateur doit être différent de $0$ ;
une racine carrée d’un nombre négatif : l’expression sous la racine doit être positive ou nulle ( $\ge 0$ ).

Ainsi $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ est définie pour $x \ne 2$ , donc sur $\mathcal{D}_f = \,]-\infty\,;\,2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$ . Et $g(x) = \sqrt{x - 3}$ est définie pour $x - 3 \ge 0$ , donc sur $\mathcal{D}_g = [3\,;\,+\infty[$ .

Sens de variation et tableau de variations

Fonction croissante, fonction décroissante

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle inclus dans son ensemble de définition.

$f$ est croissante sur $I$ si elle conserve l’ordre : pour tous $a < b$ de $I$ , on a $f(a) \le f(b)$ . (La courbe « monte ».)
$f$ est décroissante sur $I$ si elle inverse l’ordre : pour tous $a < b$ de $I$ , on a $f(a) \ge f(b)$ . (La courbe « descend ».)

Lire un tableau de variations

Un tableau de variations résume le comportement de $f$ . On y lit, de gauche à droite :

la ligne du haut : les valeurs de $x$ (bornes des intervalles) ;
la ligne du bas : une flèche $\nearrow$ quand $f$ croît, une flèche $\searrow$ quand $f$ décroît, et les valeurs de $f$ aux bornes.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

Maximum et minimum

Sur un intervalle $I$ :

$f$ admet un maximum $M$ si toutes les images sont inférieures ou égales à $M$ , valeur effectivement atteinte : $f(x) \le M$ pour tout $x$ de $I$ , et $f(x_0) = M$ pour un certain $x_0$ .
$f$ admet un minimum $m$ si toutes les images sont supérieures ou égales à $m$ , valeur atteinte : $f(x) \ge m$ pour tout $x$ de $I$ , et $f(x_0) = m$ .

On parle d’extremum pour désigner un maximum ou un minimum. Dans le tableau ci-dessus, $f$ admet le minimum $-1$ , atteint en $x = 0$ .

Parité d’une fonction

Fonction paire, fonction impaire

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ .

$f$ est paire si, pour tout $x$ , $f(-x) = f(x)$ . Sa courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
$f$ est impaire si, pour tout $x$ , $f(-x) = -f(x)$ . Sa courbe est alors symétrique par rapport à l’origine $O$ .

Étudier la parité d'une fonction

Calculer $f(-x)$ en remplaçant $x$ par $-x$ dans la formule.
Comparer le résultat à $f(x)$ $f (x)$ et à $-f(x)$ $- f (x)$ :
- si $f(-x) = f(x)$ → la fonction est paire ;
- si $f(-x) = -f(x)$ → la fonction est impaire ;
- sinon → la fonction n’est ni paire ni impaire.

Exemple : pour $f(x) = x^2 - 3$ , on a $f(-x) = (-x)^2 - 3 = x^2 - 3 = f(x)$ : $f$ est paire.

« Ni paire ni impaire » est le cas le plus fréquent

La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Trouver un seul contre-exemple suffit à le prouver.

Pour $f(x) = x + 1$ : $f(-1) = 0$ alors que $f(1) = 2$ . Comme $f(-1) \ne f(1)$ , la fonction n’est pas paire ; et comme $f(-1) \ne -f(1) = -2$ , elle n’est pas impaire non plus.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Images et antécédents à partir d'une formule

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3$ . Calculer l'image de $2$ , puis celle de $-3$ . Déterminer ensuite tous les antécédents de $1$ , puis tous les antécédents de $-3$ .

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Lire une image, un antécédent et les variations sur une courbe

Dans un repère, on a tracé la courbe d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,;\,3]$ . Cette courbe a la forme d'une vallée (un « U ») : elle descend régulièrement de gauche jusqu'à son point le plus bas, puis remonte. Elle passe par les points suivants : $(-3\,;\,4)$ , $(-2\,;\,1)$ , $(-1\,;\,0)$ , $(0\,;\,-1)$ , $(1\,;\,0)$ , $(2\,;\,1)$ et $(3\,;\,4)$ . À l'aide de ces informations : 1) lire l'image de $-2$ ; 2) déterminer tous les antécédents de $0$ ; 3) donner le sens de variation de $f$ et son minimum.

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Déterminer un ensemble de définition

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ et $g(x) = \sqrt{2x - 6}.$

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Dresser un tableau de variations et lire un extremum

Une fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-4\,;\,4]$ . En la parcourant de gauche à droite, sa courbe : descend de $x = -4$ à $x = -1$ , puis monte de $x = -1$ à $x = 2$ , puis redescend de $x = 2$ à $x = 4$ . On connaît quatre points remarquables : $f(-4) = 3$ , $f(-1) = -2$ , $f(2) = 5$ et $f(4) = 1$ . 1) Donner le sens de variation de $f$ sur chaque intervalle. 2) Dresser le tableau de variations de $f$ . 3) En déduire le maximum et le minimum de $f$ sur $[-4\,;\,4]$ .

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Ensemble de définition : stockage et débit

En modélisant le remplissage d'un disque, on rencontre deux fonctions de la variable $x$ (un nombre de Go) : $f(x) = \dfrac{120}{x - 4}$ et $g(x) = \sqrt{3x - 15}.$ Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces deux fonctions.

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Image et antécédent sur un tarif de streaming

Une plateforme de streaming facture chaque mois un abonnement fixe de $8$ € auquel s'ajoute $0{,}20$ € par film loué. Pour $x$ films loués dans le mois, la dépense totale (en euros) est donnée par la fonction $f(x) = 0{,}20\,x + 8$ . 1) Calculer $f(15)$ et interpréter le résultat. 2) Un mois, la facture s'élève à $14$ €. Déterminer le nombre de films loués, c'est-à-dire l'antécédent de $14$ par $f$ .

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Bonus

Étudier la parité d'une fonction (bonus)

Étudier la parité des deux fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ , et préciser la symétrie de leur courbe : $f(x) = x^2 - 3$ et $g(x) = x^3 - x.$

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Variations et bénéfice maximal d'une revente de sneakers

Un revendeur de sneakers étudie son bénéfice journalier $B$ (en euros) en fonction du nombre $x$ de paires vendues dans la journée, avec $0 \le x \le 12$ . Sa courbe a la forme d'une colline : elle monte de $x = 0$ à $x = 6$ , puis descend de $x = 6$ à $x = 12$ . On connaît cinq points : $B(0) = -20$ , $B(2) = 0$ , $B(6) = 16$ , $B(10) = 0$ et $B(12) = -20$ . 1) Donner le sens de variation de $B$ sur chaque intervalle. 2) Dresser le tableau de variations de $B$ . 3) En déduire le bénéfice maximal et le nombre de paires correspondant. 4) Déterminer les antécédents de $0$ par $B$ , puis indiquer pour quelles valeurs de $x$ le revendeur réalise un bénéfice strictement positif.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?

L'image de a par f est le nombre f(a) : on part de a (abscisse) et on calcule la valeur obtenue. Un antécédent de b est au contraire un nombre x dont l'image vaut b, c'est-à-dire une solution de l'équation f(x) = b. Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Comment trouve-t-on l'ensemble de définition d'une fonction ?

On cherche toutes les valeurs de x pour lesquelles le calcul de f(x) est possible. Deux interdits reviennent souvent : on ne divise jamais par 0 (un dénominateur doit être différent de 0) et on ne prend pas la racine carrée d'un nombre négatif (l'expression sous la racine doit être supérieure ou égale à 0).

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?

On calcule f(−x) et on compare à f(x). Si f(−x) = f(x) pour tout x, la fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Si f(−x) = −f(x), elle est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Si aucune des deux égalités n'est vraie, la fonction n'est ni paire ni impaire.