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Première pro

Budget de publicité et joueurs actifs : étude complète

Énoncé

Un studio indépendant lance un jeu sur une plateforme en ligne. Chaque semaine, il fait varier le budget xx consacré à la publicité (en euros) et relève le nombre yy de joueurs actifs (en milliers).

| Budget pub xx (€) | 100100 | 200200 | 300300 | 400400 | 500500 | 600600 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Joueurs actifs yy (milliers) | 2626 | 4343 | 5555 | 7474 | 8686 | 103103 |

Le tableur, après ajustement affine, affiche :
y=0,15 x+12avecR2≈0,96.y = 0{,}15 \, x + 12 \qquad \text{avec} \qquad R^2 \approx 0{,}96.

1. Interpréter le coefficient directeur 0,150{,}15 et juger, grâce à R2R^2, si l'ajustement affine est pertinent.
2. Estimer le nombre de joueurs actifs pour un budget de 350 €350\ \text{€}. Interpolation ou extrapolation ?
3. Le studio envisage un budget exceptionnel de 800 €800\ \text{€}. Prévoir le nombre de joueurs actifs et préciser avec quelle prudence considérer ce résultat.
4. Le studio vise 9090 milliers de joueurs actifs. Quel budget publicitaire faut-il prévoir d'après la droite d'ajustement ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le coefficient directeur 0,150{,}15 est le nombre qui multiplie xx : il dit de combien de milliers de joueurs augmente yy quand le budget xx augmente de 1 €1\ \text{€}. Pour juger la pertinence, compare R2≈0,96R^2 \approx 0{,}96 à 11.
  2. Pour les questions 2 et 3, remplace xx par la valeur du budget dans y=0,15 x+12y = 0{,}15 \, x + 12, puis regarde si ce budget est à l'intérieur (100100 à 600600) ou en dehors de la plage des données.
  3. Pour la question 4, c'est l'inverse : tu connais y=90y = 90 et tu cherches xx. Écris l'équation 90=0,15 x+1290 = 0{,}15 \, x + 12, soustrais 1212, puis divise par 0,150{,}15.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Interpréter le coefficient directeur et juger l'ajustement

    Dans y=0,15 x+12y = 0{,}15 \, x + 12, le coefficient directeur est 0,150{,}15 : chaque euro supplémentaire de budget publicitaire fait augmenter le nombre de joueurs actifs d'environ 0,150{,}15 millier, soit 150150 joueurs. Le tableur indique R2≈0,96R^2 \approx 0{,}96 : cette valeur est très proche de 11, donc les points sont bien alignés et l'ajustement affine est pertinent. On peut se fier à la droite pour estimer.

  2. 2. Estimer pour un budget de 350 €

    On remplace xx par 350350 dans la droite d'ajustement : y=0,15×350+12.y = 0{,}15 \times 350 + 12. On calcule le produit puis on ajoute : 0,15×350=52,5,0{,}15 \times 350 = 52{,}5, donc y=52,5+12=64,5.y = 52{,}5 + 12 = 64{,}5. On estime environ 64,564{,}5 milliers de joueurs actifs. Comme 350350 est compris entre 300300 et 400400, donc à l'intérieur de la plage [100 ; 600][100 \ ; \ 600], il s'agit d'une interpolation : l'estimation est fiable.

  3. 3. Prévoir pour un budget de 800 €

    On remplace xx par 800800 : y=0,15×800+12.y = 0{,}15 \times 800 + 12. On calcule : 0,15×800=120,0{,}15 \times 800 = 120, donc y=120+12=132.y = 120 + 12 = 132. On prévoit environ 132132 milliers de joueurs actifs. Mais 800 €800\ \text{€} est au-delà du plus gros budget mesuré (600 €600\ \text{€}) : c'est une extrapolation, donc une simple prévision à considérer avec prudence (le public peut saturer et la hausse ralentir).

  4. 4. Trouver le budget pour 90 milliers de joueurs

    Cette fois, on connaît l'objectif y=90y = 90 et on cherche le budget xx. On reporte y=90y = 90 dans la droite : 90=0,15 x+12.90 = 0{,}15 \, x + 12. On soustrait 1212 des deux côtés : 90−12=0,15 x,90 - 12 = 0{,}15 \, x, d'où 0,15 x=78.0{,}15 \, x = 78. On divise par 0,150{,}15 : x=780,15=520.x = \dfrac{78}{0{,}15} = 520. Il faut donc prévoir un budget d'environ 520 €520\ \text{€} (valeur comprise dans [100 ; 600][100 \ ; \ 600], c'est une interpolation fiable). Pour viser 9090 milliers de joueurs actifs, le studio doit prévoir environ 520 €520\ \text{€} de publicité.
Réponse finale
R2≈0,96 (ajustement pertinent).x=350:y=64,5 milliers (interpolation).x=800:y=132 milliers (extrapolation, prudence).y=90:x=780,15=520 €.R^2 \approx 0{,}96 \ (\text{ajustement pertinent}). \quad x = 350 : y = 64{,}5 \text{ milliers (interpolation).} \quad x = 800 : y = 132 \text{ milliers (extrapolation, prudence).} \quad y = 90 : x = \dfrac{78}{0{,}15} = 520\ \text{€.}
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