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Rêves Vision
Première ST2S

Évolutions successives d'un budget et retour à la valeur initiale

Énoncé

Le budget annuel d'un centre de santé est de 240 000240\,000 euros la première année. Il augmente de 15%15\% la deuxième année, puis baisse de 8%8\% la troisième année. 1) Détermine le taux d'évolution global du budget entre la première et la troisième année. 2) Calcule le budget de la troisième année. 3) La quatrième année, la direction souhaite ramener le budget à sa valeur initiale de 240 000240\,000 euros. Quel taux d'évolution, arrondi à 0,1%0{,}1\% près, doit-elle appliquer cette année-là ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Traduis chaque évolution par son coefficient multiplicateur 1+t1001 + \dfrac{t}{100} : une baisse de 8%8\% donne 0,920{,}92, pas −0,08.-0{,}08.
  2. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients ; on n'additionne ni ne soustrait jamais les pourcentages.
  3. Pour revenir à la valeur de départ, cherche le coefficient cc tel que CMglobal×c=1\text{CM}_{\text{global}} \times c = 1, puis convertis-le en taux avec t=(c−1)×100.t = (c - 1) \times 100.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Coefficient de chaque évolution

    La hausse de 15%15\% a pour coefficient 1+15100=1,15.1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15. La baisse de 8%8\% a pour coefficient 1−8100=0,92.1 - \dfrac{8}{100} = 0{,}92.

  2. 2. Coefficient global et taux d'évolution global

    Les évolutions successives se multiplient, donc CMglobal=1,15×0,92=1,058.\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}15 \times 0{,}92 = 1{,}058. D'après la formule t=(CMglobal−1)×100t = (\text{CM}_{\text{global}} - 1) \times 100, on obtient t=(1,058−1)×100=5,8.t = (1{,}058 - 1) \times 100 = 5{,}8. Le budget a globalement augmenté de 5,8%5{,}8\% (et non de 15%−8%=7%15\% - 8\% = 7\%).

  3. 3. Budget de la troisième année

    On multiplie le budget initial par le coefficient global : 240 000×1,058=253 920.240\,000 \times 1{,}058 = 253\,920. Le budget de la troisième année est donc de 253 920253\,920 euros.

  4. 4. Coefficient réciproque pour la quatrième année

    Pour ramener le budget de 253 920253\,920 euros à 240 000240\,000 euros, on cherche le coefficient cc tel que 253 920×c=240 000253\,920 \times c = 240\,000, soit c=240 000253 920≈0,9452.c = \dfrac{240\,000}{253\,920} \approx 0{,}9452. On retrouve bien c=11,058c = \dfrac{1}{1{,}058}, car appliquer cette baisse doit annuler la hausse globale.

  5. 5. Taux de la quatrième année et conclusion

    D'après t=(c−1)×100t = (c - 1) \times 100, on a t≈(0,9452−1)×100≈−5,5.t \approx (0{,}9452 - 1) \times 100 \approx -5{,}5. La direction doit appliquer une baisse d'environ 5,5%5{,}5\% la quatrième année. Cette baisse n'est pas égale à la hausse de 5,8%5{,}8\% : elle s'applique à un budget devenu plus élevé.
Réponse finale
tglobal=+5,8%;240 000×1,058=253 920 euros;t4≈−5,5%t_{\text{global}} = +5{,}8\% \quad ; \quad 240\,000 \times 1{,}058 = 253\,920 \text{ euros} \quad ; \quad t_4 \approx -5{,}5\%
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