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Rêves Vision
Première

Dériver un quotient avec exponentielle

Énoncé

Sur une boutique en ligne de sneakers, le bénéfice quotidien (en milliers d'euros) est modélisé par la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e xx+1f(x) = \dfrac{e^{\,x}}{x + 1}, où x≥0x \geq 0 représente l'effort publicitaire. Dériver la fonction ff et donner l'expression de f′(x)f'(x) sous forme factorisée.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Poser u et v

    On reconnaît un quotient f=uvf = \dfrac{u}{v} avec u=e xu = e^{\,x} et v=x+1v = x + 1. On a donc u′=e xu' = e^{\,x} et v′=1v' = 1.

  2. 2. Appliquer la formule du quotient

    D'après la formule (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, on obtient f′(x)=e x (x+1)−e x×1(x+1)2.f'(x) = \dfrac{e^{\,x}\,(x + 1) - e^{\,x} \times 1}{(x + 1)^{2}}.

  3. 3. Factoriser le numérateur par e puissance x

    Le numérateur vaut e x(x+1)−e x=e x[(x+1)−1]=e x×xe^{\,x}(x + 1) - e^{\,x} = e^{\,x}\big[(x + 1) - 1\big] = e^{\,x} \times x, donc f′(x)=x e x(x+1)2.f'(x) = \dfrac{x\,e^{\,x}}{(x + 1)^{2}}.

  4. 4. Conclure

    Pour tout réel x≠−1x \neq -1, f′(x)=x e x(x+1)2f'(x) = \dfrac{x\,e^{\,x}}{(x + 1)^{2}}. Comme e x>0e^{\,x} > 0 et (x+1)2>0(x + 1)^{2} > 0, le signe de f′(x)f'(x) est celui de xx : sur le domaine d'étude x≥0x \geq 0, le bénéfice est donc croissant. f′(x)=x e x(x+1)2f'(x) = \dfrac{x\,e^{\,x}}{(x + 1)^{2}}.
Réponse finale
f′(x)=x e x(x+1)2f'(x) = \dfrac{x\,e^{\,x}}{(x + 1)^{2}}
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