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Rêves Vision
Première

Résoudre une équation par changement de variable

Énoncé

Un studio indépendant vend un jeu sur une plateforme. L'écart de stock (en milliers de copies) par rapport à l'objectif suit le modèle N(t)=e 2t+e t−2N(t) = e^{\,2t} + e^{\,t} - 2, où t≥0t \geq 0 est le temps en mois. Déterminer les instants tt pour lesquels N(t)=0N(t) = 0, c'est-à-dire résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e 2t+e t−2=0e^{\,2t} + e^{\,t} - 2 = 0.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Repère que e 2te^{\,2t} s'écrit (e t)2\left(e^{\,t}\right)^{2} : pose X=e tX = e^{\,t} pour transformer l'équation en une équation du second degré en XX.
  2. N'oublie pas la contrainte X>0X > 0 : une exponentielle est toujours strictement positive, donc une racine négative est à rejeter.
  3. Pour revenir à tt, écris la racine restante comme une puissance de ee : ici 1=e 01 = e^{\,0}, puis utilise e t=e a  ⟺  t=ae^{\,t} = e^{\,a} \iff t = a.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Poser le changement de variable

    On remarque que e 2t=(e t)2e^{\,2t} = \left(e^{\,t}\right)^{2}. On pose donc X=e tX = e^{\,t}, avec la contrainte X>0X > 0 car l'exponentielle est strictement positive. L'équation devient X2+X−2=0.X^{2} + X - 2 = 0.

  2. 2. Résoudre l'équation du second degré

    Le discriminant vaut Δ=12−4×1×(−2)=1+8=9>0\Delta = 1^{2} - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 > 0. Il y a donc deux racines : X1=−1−92=−2X_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{9}}{2} = -2 et X2=−1+92=1.X_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1.

  3. 3. Vérifier la contrainte sur X

    La valeur X1=−2X_1 = -2 est strictement négative : elle est à rejeter car X=e t>0X = e^{\,t} > 0. Seule X2=1X_2 = 1 est acceptable.

  4. 4. Revenir à l'inconnue t

    On résout e t=1e^{\,t} = 1. Comme 1=e 01 = e^{\,0}, la stricte croissance de l'exponentielle donne e t=e 0  ⟺  t=0e^{\,t} = e^{\,0} \iff t = 0. Cette valeur vérifie bien t≥0t \geq 0.

  5. 5. Conclure

    L'écart de stock s'annule à l'instant t=0t = 0 mois. S={0}S = \{0\}.
Réponse finale
S={0}S = \{0\}
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