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Seconde Approfondissement gratuit

Prouver l'alignement de trois points (colinéarité)

Énoncé

Dans un repère, on donne les points A(1 ; 2)A(1\,;\,2), B(4 ; 3)B(4\,;\,3) et C(10 ; 5)C(10\,;\,5). Démontrer que les points AA, BB et CC sont alignés.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Choisir deux vecteurs à comparer

    Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires. On calcule donc leurs coordonnées.

  2. 2. Calculer les coordonnées de AB et AC

    AB⃗ (4−1 ; 3−2)=(3 ; 1)\vec{AB}\,(4 - 1\,;\,3 - 2) = (3\,;\,1) et AC⃗ (10−1 ; 5−2)=(9 ; 3).\vec{AC}\,(10 - 1\,;\,5 - 2) = (9\,;\,3).

  3. 3. Calculer le déterminant

    Avec AB⃗ (x ; y)\vec{AB}\,(x\,;\,y) et AC⃗ (x′ ; y′)\vec{AC}\,(x'\,;\,y'), le déterminant vaut xy′−yx′=3×3−1×9=9−9=0.x y' - y x' = 3 \times 3 - 1 \times 9 = 9 - 9 = 0.

  4. 4. Conclure

    Le déterminant est nul : les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires. Comme ils partagent le point AA, les points AA, BB et CC sont alignés.
Réponse finale
xy′−yx′=3×3−1×9=0 ⇒ A, B, C aligneˊsx y' - y x' = 3 \times 3 - 1 \times 9 = 0 \ \Rightarrow\ A,\ B,\ C \text{ alignés}
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Les vecteurs : coordonnées, relation de Chasles et colinéarité ← Retour au cours

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