Seconde · Chapitre 10

Les vecteurs : coordonnées, relation de Chasles et colinéarité

Cours de Seconde sur les vecteurs : translation, égalité, coordonnées de AB, relation de Chasles, milieu d'un segment et colinéarité (xy′−yx′). Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Seconde générale et technologique · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

La géométrie repérée : milieu, distance et droites

Un vecteur sert à décrire un déplacement : une direction, un sens et une longueur, sans préciser de point de départ. C’est l’outil idéal pour calculer en géométrie repérée - montrer que des points sont alignés, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, ou trouver le milieu d’un segment.

Vecteur et translation

Un vecteur $\vec{AB}$ est défini par la translation qui transforme le point $A$ en le point $B$ . Il possède trois caractéristiques :

une direction (celle de la droite $(AB)$ ),
un sens (de $A$ vers $B$ ),
une longueur (la distance $AB$ , aussi appelée norme).

Le vecteur $\vec{AA}$ , qui ne déplace rien, est le vecteur nul $\vec{0}$ .

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même longueur.

Dire que $\vec{AB} = \vec{CD}$ équivaut à dire que $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). C’est aussi équivalent à $\vec{AC} = \vec{BD}$ : les deux vecteurs « se translatent » l’un vers l’autre.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ , alors :

$\vec{AB}\,\bigl(x_B - x_A\ ;\ y_B - y_A\bigr)$

On soustrait les coordonnées du départ $A$ à celles de l’arrivée $B$ . Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées.

Coordonnées du milieu d'un segment

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et de $B$ :

$I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\ ;\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Somme de vecteurs et relation de Chasles

Pour trois points $A$ , $B$ et $C$ quelconques :

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

C’est la relation de Chasles : enchaîner le déplacement de $A$ vers $B$ puis de $B$ vers $C$ revient à aller directement de $A$ vers $C$ . Le point intermédiaire $B$ « se simplifie ».

Astuce de lecture : dans une somme, on cherche à faire coïncider l’arrivée d’un vecteur avec le départ du suivant.

Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction. Cela se traduit par le critère :

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff x\,y' - y\,x' = 0$

Le nombre $x y' - y x'$ s’appelle le déterminant des deux vecteurs.

Montrer que trois points sont alignés

Pour prouver que $A$ , $B$ et $C$ sont alignés :

Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et de $\vec{AC}$ .
Calculer le déterminant $x_{\vec{AB}}\,y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}}\,x_{\vec{AC}}$ .
S’il vaut $0$ , les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Les pièges classiques

Pour $\vec{AB}$ , on calcule arrivée − départ : $\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ , surtout pas l’inverse. Attention, $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$ sont opposés.
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (et non $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB}$ ) : c’est la lettre du milieu qui disparaît.
Pour le milieu, on additionne les coordonnées avant de diviser par $2$ : ce n’est pas une soustraction comme pour un vecteur.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer les coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, on donne les points $A(-2\,;\,3)$ et $B(4\,;\,1)$ . Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .

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Simplifier une somme avec la relation de Chasles

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points du plan. Simplifier la somme $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$ en un seul vecteur.

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Vérifier l'égalité de deux vecteurs par leurs coordonnées

Pour caler le montage d'une vidéo TikTok, on repère quatre vignettes sur une grille (l'unité est le carreau). On note leurs centres $A(2\,;\,1)$ , $B(5\,;\,3)$ , $C(1\,;\,4)$ et $D(4\,;\,6)$ . Le déplacement pour passer de la vignette $A$ à la vignette $B$ doit être identique à celui qui mène de $C$ à $D$ . Vérifier que $\vec{AB} = \vec{CD}$ .

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Calculer les coordonnées d'un trajet avec la relation de Chasles

Un livreur à scooter part du restaurant $A(1\,;\,2)$ , passe chez un premier client $B(6\,;\,4)$ , puis chez un second client $C(8\,;\,1)$ (l'unité est le kilomètre). On veut connaître le vecteur déplacement direct $\vec{AC}$ du restaurant au second client. Calculer $\vec{AC}$ à l'aide de la relation de Chasles, puis vérifier le résultat par un calcul direct.

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Déterminer les coordonnées d'un milieu

On considère les points $A(-3\,;\,5)$ et $B(7\,;\,-1)$ . Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ .

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Trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme

Dans un repère, on donne $A(1\,;\,2)$ , $B(5\,;\,3)$ et $C(2\,;\,5)$ . Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

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Démontrer que deux droites sont parallèles avec la colinéarité

Dans un niveau de jeu vidéo, on place quatre balises sur la carte (l'unité est le carreau) : $A(-2\,;\,1)$ , $B(2\,;\,3)$ , $C(0\,;\,-3)$ et $D(2\,;\,-2)$ . Le level designer affirme que le couloir $(AB)$ est parallèle au couloir $(CD)$ . Démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, puis vérifier qu'elles ne sont pas confondues.

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Bonus

Prouver l'alignement de trois points (colinéarité)

Dans un repère, on donne les points $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(10\,;\,5)$ . Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

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Questions fréquentes

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur AB ?

Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). On soustrait toujours les coordonnées du point de départ A à celles du point d'arrivée B.

Qu'est-ce que la relation de Chasles ?

La relation de Chasles dit que pour trois points A, B et C, on a AB + BC = AC. Elle permet d'enchaîner deux déplacements : aller de A à B puis de B à C revient à aller directement de A à C.

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?

Deux vecteurs u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − yx′ = 0. Ce critère sert notamment à prouver que trois points sont alignés ou que des droites sont parallèles.