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Rêves Vision
Seconde

Démontrer que deux droites sont parallèles avec la colinéarité

Énoncé

Dans un niveau de jeu vidéo, on place quatre balises sur la carte (l'unité est le carreau) : A(−2 ; 1)A(-2\,;\,1), B(2 ; 3)B(2\,;\,3), C(0 ; −3)C(0\,;\,-3) et D(2 ; −2)D(2\,;\,-2). Le level designer affirme que le couloir (AB)(AB) est parallèle au couloir (CD)(CD). Démontrer que les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, puis vérifier qu'elles ne sont pas confondues.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles exactement quand les vecteurs AB⃗\vec{AB} et CD⃗\vec{CD} sont colinéaires : commence par calculer leurs coordonnées.
  2. Pour tester la colinéarité de u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y'), calcule le déterminant xy′−yx′x y' - y x' : s'il vaut 00, les vecteurs sont colinéaires.
  3. Parallèles ne veut pas dire confondues : vérifie en plus que le point CC n'est pas sur (AB)(AB), en montrant que AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} ne sont pas colinéaires (déterminant non nul).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire le parallélisme par la colinéarité

    Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB⃗\vec{AB} et CD⃗\vec{CD} sont colinéaires. On calcule donc leurs coordonnées.

  2. 2. Calculer les coordonnées de AB et CD

    Avec la formule arrivée moins départ : AB⃗ (2−(−2) ; 3−1)=(4 ; 2)\vec{AB}\,(2 - (-2)\,;\,3 - 1) = (4\,;\,2) et CD⃗ (2−0 ; −2−(−3))=(2 ; 1).\vec{CD}\,(2 - 0\,;\,-2 - (-3)) = (2\,;\,1).

  3. 3. Calculer le déterminant

    Avec AB⃗ (x ; y)\vec{AB}\,(x\,;\,y) et CD⃗ (x′ ; y′)\vec{CD}\,(x'\,;\,y'), le déterminant vaut xy′−yx′=4×1−2×2=4−4=0.x y' - y x' = 4 \times 1 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0. Le déterminant est nul, donc AB⃗\vec{AB} et CD⃗\vec{CD} sont colinéaires, d'où (AB) / ⁣/ (CD).(AB)\ /\!/\ (CD).

  4. 4. Vérifier que les droites ne sont pas confondues

    Il reste à montrer que CC n'appartient pas à la droite (AB)(AB). On calcule AC⃗ (0−(−2) ; −3−1)=(2 ; −4)\vec{AC}\,(0 - (-2)\,;\,-3 - 1) = (2\,;\,-4), puis son déterminant avec AB⃗ (4 ; 2)\vec{AB}\,(4\,;\,2) : 2×2−(−4)×4=4+16=20≠0.2 \times 2 - (-4) \times 4 = 4 + 16 = 20 \neq 0. Donc AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} ne sont pas colinéaires : CC n'est pas sur (AB)(AB), et les deux droites sont parallèles mais distinctes. Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont strictement parallèles.
Réponse finale
xy′−yx′=4×1−2×2=0 ⇒ (AB) / ⁣/ (CD)x y' - y x' = 4 \times 1 - 2 \times 2 = 0 \ \Rightarrow\ (AB)\ /\!/\ (CD)
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