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Rêves Vision
Seconde

Trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme

Énoncé

Dans un repère, on donne A(1 ; 2)A(1\,;\,2), B(5 ; 3)B(5\,;\,3) et C(2 ; 5)C(2\,;\,5). Déterminer les coordonnées du point DD tel que ABDCABDC soit un parallélogramme.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire le parallélogramme par une égalité de vecteurs

    Le quadrilatère ABDCABDC est un parallélogramme si et seulement si AB⃗=CD⃗\vec{AB} = \vec{CD} (les côtés [AB][AB] et [CD][CD] sont parallèles et de même longueur).

  2. 2. Calculer les coordonnées de AB

    AB⃗ (xB−xA ; yB−yA)=(5−1 ; 3−2)=(4 ; 1).\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A) = (5 - 1\,;\,3 - 2) = (4\,;\,1).

  3. 3. Exprimer CD et résoudre

    En notant D(x ; y)D(x\,;\,y), on a CD⃗ (x−2 ; y−5)\vec{CD}\,(x - 2\,;\,y - 5). L'égalité CD⃗=AB⃗\vec{CD} = \vec{AB} donne x−2=4x - 2 = 4 et y−5=1y - 5 = 1, soit x=6x = 6 et y=6y = 6.

  4. 4. Vérifier

    Avec D(6 ; 6)D(6\,;\,6) : CD⃗ (6−2 ; 6−5)=(4 ; 1)=AB⃗\vec{CD}\,(6 - 2\,;\,6 - 5) = (4\,;\,1) = \vec{AB}. L'égalité est bien vérifiée.
Réponse finale
D(6 ; 6)D(6\,;\,6)
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