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Rêves Vision
Terminale ST2S

Équation de tangente et température

Énoncé

On suit la température (en °C) d'un patient pendant une fièvre. tt heures après le début du suivi, elle est modélisée par T(t)=−0,5 t2+3 t+37T(t) = -0{,}5\,t^2 + 3\,t + 37 sur [0 ; 6][0\,;\,6]. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de TT au point d'abscisse t=2t = 2, puis interpréter sa pente.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer T(2)

    T(2)=−0,5×22+3×2+37=−0,5×4+6+37=−2+6+37=41.T(2) = -0{,}5 \times 2^2 + 3 \times 2 + 37 = -0{,}5 \times 4 + 6 + 37 = -2 + 6 + 37 = 41. Au bout de 22 heures, la température est de 4141 °C.

  2. 2. Calculer la dérivée et T'(2)

    T′(t)=−0,5×2t+3=−t+3T'(t) = -0{,}5 \times 2t + 3 = -t + 3, donc T′(2)=−2+3=1.T'(2) = -2 + 3 = 1.

  3. 3. Écrire l'équation de la tangente

    La tangente au point d'abscisse a=2a = 2 a pour équation y=T′(2)(t−2)+T(2)=1×(t−2)+41.y = T'(2)(t - 2) + T(2) = 1 \times (t - 2) + 41. En développant : y=t−2+41=t+39.y = t - 2 + 41 = t + 39.

  4. 4. Interpréter la pente

    La pente vaut T′(2)=1T'(2) = 1 : elle est positive, donc à la 2e2^{\text{e}} heure la température augmente encore, à la vitesse d'environ 11 °C par heure. L'équation de la tangente est y=t+39y = t + 39, et son coefficient directeur 11 indique que la température monte d'environ 11 °C par heure à cet instant.
Réponse finale
y=t+39(pente 1 : la tempeˊrature monte d’environ 1 ∘C par heure)y = t + 39 \quad\text{(pente } 1\text{ : la température monte d'environ } 1\ {}^{\circ}\text{C par heure)}
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