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Rêves Vision
Terminale ST2S

Nombre dérivé et débit de téléchargement

Énoncé

Tu télécharges la mise à jour d'un jeu vidéo. La quantité de données déjà reçue (en Go), tt minutes après le début, est modélisée par D(t)=−0,5 t2+12 tD(t) = -0{,}5\,t^2 + 12\,t pour t∈[0 ; 12]t \in [0\,;\,12]. Calculer D′(t)D'(t), puis le nombre dérivé D′(4)D'(4) et interpréter son signe.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée

    On dérive terme à terme : la dérivée de −0,5 t2-0{,}5\,t^2 est −0,5×2t=−t-0{,}5 \times 2t = -t, et celle de 12 t12\,t est 1212. Donc D′(t)=−t+12.D'(t) = -t + 12.

  2. 2. Évaluer en 4

    D′(4)=−4+12=8.D'(4) = -4 + 12 = 8.

  3. 3. Interpréter

    Le nombre dérivé D′(4)=8D'(4) = 8 est positif, donc 44 minutes après le début la quantité de données reçue augmente encore, à la vitesse d'environ 88 Go par minute. Le téléchargement progresse au voisinage de t=4t = 4, à environ 88 Go/min.
Réponse finale
D′(t)=−t+12etD′(4)=8>0 (le teˊleˊchargement progresse, environ 8 Go/min)D'(t) = -t + 12 \quad\text{et}\quad D'(4) = 8 > 0 \ \text{(le téléchargement progresse, environ } 8 \text{ Go/min)}
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