Terminale ST2S · Chapitre 1

La dérivation

Cours de Terminale ST2S sur la dérivation : nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles, signe de la dérivée et variations. Étudier l'évolution d'une grandeur médicale. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale ST2S - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Les fonctions de référence

À quel moment la concentration d’un médicament dans le sang est-elle maximale ? La température d’un patient monte-t-elle encore ou commence-t-elle à baisser ? En santé-social, ces grandeurs se modélisent par des fonctions du temps. La dérivation est l’outil qui mesure comment ces fonctions varient : son signe donne le sens de variation, et là où elle s’annule en changeant de signe se cachent les extremums - le pic d’une concentration, le minimum d’une température.

Ce que tu sauras faire

Je sais interpréter le nombre dérivé $f'(a)$ comme la pente de la tangente au point d’abscisse $a$ .
Je connais les dérivées usuelles ( $x^n$ , une constante, $\dfrac{1}{x}$ , $\sqrt{x}$ ) et je sais dériver une somme et $k\,u$ .
Je sais dériver un polynôme terme par terme.
Je sais étudier le signe de $f'$ pour dresser le tableau de variations de $f$ et repérer ses extremums.
Je sais écrire l’équation de la tangente $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ et l’interpréter comme une vitesse de variation.

À quoi ça sert ?

Quand un patient prend un médicament, sa concentration dans le sang monte, atteint un pic, puis redescend à mesure que l’organisme l’élimine. La dérivée de cette concentration te dit exactement ce qui se passe : tant qu’elle est positive, le médicament continue de diffuser ; dès qu’elle devient négative, l’élimination l’emporte. Bénéfice de l’outil : repérer le pic (le moment le plus efficace) sans tâtonner. Même logique pour une température qui culmine lors d’une fièvre, ou pour une population de cellules qui croît puis se stabilise.

Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ . Il mesure la vitesse de variation de $f$ autour de $a$ :

si $f'(a) > 0$ , la courbe monte au point d’abscisse $a$ (la grandeur augmente) ;
si $f'(a) < 0$ , la courbe descend (la grandeur diminue) ;
si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale.

La tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$ .

Dérivées usuelles

Pour les fonctions de référence du programme :

$\big(k\big)' = 0$ pour toute constante $k$ , et $\big(x\big)' = 1$ .
$\big(x^2\big)' = 2x \qquad \big(x^3\big)' = 3x^2 \qquad \big(x^n\big)' = n\,x^{\,n-1}$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ (sur un intervalle où $x \neq 0$ ).
$\big(\sqrt{x}\big)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (pour $x > 0$ ).

Dérivée d'une somme et de k fois u

Si $u$ et $v$ sont dérivables et $k$ une constante : $(u + v)' = u' + v' \qquad\qquad (k\,u)' = k\,u'$ On dérive donc terme par terme en conservant les coefficients. Par exemple, pour un polynôme : $f(x) = -0{,}5\,x^2 + 4\,x + 2 \qquad\Longrightarrow\qquad f'(x) = -0{,}5 \times 2x + 4 = -x + 4$ Le terme constant $+2$ disparaît, et chaque exposant descend de un.

Signe de f' et variations de f

Sur un intervalle $I$ :

si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ ;
si $f'(x) < 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .

Là où $f'$ s’annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local : un maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$ , un minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$ .

Étudier l'évolution d'une grandeur médicale

Identifier la fonction à étudier ( $C$ pour une concentration, $T$ pour une température…) et son intervalle de temps.
Calculer la dérivée, puis résoudre $f'(x) = 0$ .
Étudier le signe de $f'$ sur l’intervalle (tableau de signes).
Dresser le tableau de variations et repérer l’extremum cherché (le pic, le minimum…).
Calculer la valeur de la fonction à l’optimum et conclure avec l’unité (mg/L, °C…).

Pic de concentration d'un médicament

La concentration (en mg/L) d’un médicament dans le sang $t$ heures après la prise est $C(t) = -t^2 + 6t$ sur $[0\,;\,6]$ .

Dériver : $C'(t) = -2t + 6$ .

Annuler : $C'(t) = 0 \iff -2t + 6 = 0 \iff t = 3$ .

Signe : le coefficient de $t$ est $-2 < 0$ , donc $C'(t) > 0$ pour $t < 3$ et $C'(t) < 0$ pour $t > 3$ . La concentration croît jusqu’à $t = 3$ puis décroît : maximum en $t = 3$ .

Valeur : $C(3) = -3^2 + 6 \times 3 = -9 + 18 = 9$ .

La concentration est donc maximale $3$ heures après la prise, et vaut alors $9$ mg/L.

Le piège du signe et de l'unité

FAUX : croire que l’instant du pic est la réponse finale.

VRAI : la valeur $t$ où $f'$ s’annule donne quand se situe l’extremum ; il faut ensuite calculer $f(t)$ pour obtenir la concentration (ou la température) avec son unité. Et attention : une dérivée qui s’annule ne suffit pas, il faut vérifier le changement de signe (de $+$ à $-$ pour un maximum).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer un nombre dérivé

La concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang, $t$ heures après la prise, est donnée par $C(t) = -t^2 + 10t$ pour $t \in [0\,;\,10]$ . Calculer $C'(t)$ , puis le nombre dérivé $C'(2)$ et interpréter son signe.

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Dériver une fonction polynôme

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,10]$ par $f(t) = 0{,}2\,t^3 - 3\,t^2 + 12\,t$ . Calculer sa dérivée $f'(t)$ .

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Nombre dérivé et débit de téléchargement

Tu télécharges la mise à jour d'un jeu vidéo. La quantité de données déjà reçue (en Go), $t$ minutes après le début, est modélisée par $D(t) = -0{,}5\,t^2 + 12\,t$ pour $t \in [0\,;\,12]$ . Calculer $D'(t)$ , puis le nombre dérivé $D'(4)$ et interpréter son signe.

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Équation de tangente et température

On suit la température (en °C) d'un patient pendant une fièvre. $t$ heures après le début du suivi, elle est modélisée par $T(t) = -0{,}5\,t^2 + 3\,t + 37$ sur $[0\,;\,6]$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $T$ au point d'abscisse $t = 2$ , puis interpréter sa pente.

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Pic de concentration d'un médicament

La concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang, $t$ heures après son injection, est donnée par $C(t) = -t^2 + 6t + 1$ sur $[0\,;\,8]$ . Déterminer l'instant où la concentration est maximale, ainsi que cette concentration maximale.

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Tangente et recette d'un food-truck

Un food-truck ouvert sur une place modélise sa recette journalière (en euros) en fonction du nombre $x$ de menus vendus par $R(x) = -2\,x^2 + 24\,x + 50$ pour $x \in [0\,;\,12]$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $R$ au point d'abscisse $x = 3$ , puis interpréter sa pente.

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Bonus

Étudier l'évolution d'une population de bactéries

Dans une culture en laboratoire, le nombre de bactéries (en centaines de milliers), $t$ heures après le début de l'observation, est modélisé par $N(t) = t^3 - 12\,t^2 + 36\,t + 5$ sur $[0\,;\,8]$ . Étudier les variations de $N$ et déterminer ses extremums locaux.

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Variations du nombre d'abonnés d'une chaîne

Une créatrice suit le nombre d'abonnés de sa chaîne (en milliers), $t$ mois après sa première vidéo virale, modélisé par $A(t) = t^3 - 9\,t^2 + 24\,t + 5$ sur $[0\,;\,6]$ . Étudier les variations de $A$ et déterminer ses extremums locaux.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

À quoi sert la dérivée en ST2S ?

La dérivée mesure comment une grandeur médicale ou sociale varie au cours du temps. Son signe indique si une concentration de médicament, une température ou une population augmente ou diminue. Là où elle s'annule en changeant de signe se trouve un maximum ou un minimum, par exemple le pic de concentration d'un médicament dans le sang.

Comment calculer le nombre dérivé d'une fonction ?

On calcule d'abord la dérivée f prime à l'aide des dérivées usuelles, puis on remplace x par la valeur cherchée. Le nombre dérivé f prime de a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a : il donne la vitesse de variation de la grandeur autour de a.

Comment trouver le pic de concentration d'un médicament ?

On modélise la concentration par une fonction du temps, on calcule sa dérivée, puis on cherche l'instant où cette dérivée s'annule en passant du positif au négatif. On dresse le tableau de variations : cet instant donne le maximum, et on calcule alors la concentration correspondante en milligrammes par litre.