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Rêves Vision
Terminale ST2S Approfondissement gratuit

Étudier l'évolution d'une population de bactéries

Énoncé

Dans une culture en laboratoire, le nombre de bactéries (en centaines de milliers), tt heures après le début de l'observation, est modélisé par N(t)=t3−12 t2+36 t+5N(t) = t^3 - 12\,t^2 + 36\,t + 5 sur [0 ; 8][0\,;\,8]. Étudier les variations de NN et déterminer ses extremums locaux.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par dériver NN terme à terme : tu obtiens un trinôme du second degré N′(t)=3t2−24t+36N'(t) = 3t^2 - 24t + 36.
  2. Factorise N′(t)N'(t) : mets 33 en facteur, puis cherche les deux racines du trinôme t2−8t+12t^2 - 8t + 12 (somme 88, produit 1212).
  3. Une fois les racines trouvées, dresse le tableau de signes de N′N' (un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines), puis le tableau de variations. N'oublie pas de calculer NN aux deux racines pour donner les extremums.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver

    On dérive terme à terme : N′(t)=3t2−12×2t+36=3t2−24t+36.N'(t) = 3t^2 - 12 \times 2t + 36 = 3t^2 - 24t + 36.

  2. 2. Factoriser la dérivée

    On met 33 en facteur : N′(t)=3(t2−8t+12).N'(t) = 3\left(t^2 - 8t + 12\right). Le trinôme t2−8t+12t^2 - 8t + 12 a pour racines 22 et 66 (somme 88, produit 1212), donc N′(t)=3(t−2)(t−6).N'(t) = 3(t - 2)(t - 6).

  3. 3. Étudier le signe de N′

    N′(t)N'(t) est un trinôme de coefficient dominant 3>03 > 0 : il est positif à l'extérieur des racines 22 et 66, négatif entre elles. Donc NN est croissante sur [0 ; 2]\left[0\,;\,2\right], décroissante sur [2 ; 6]\left[2\,;\,6\right], puis croissante sur [6 ; 8]\left[6\,;\,8\right].

  4. 4. Calculer les extremums

    Maximum local en t=2t = 2 : N(2)=23−12×22+36×2+5=8−48+72+5=37.N(2) = 2^3 - 12 \times 2^2 + 36 \times 2 + 5 = 8 - 48 + 72 + 5 = 37. Minimum local en t=6t = 6 : N(6)=63−12×62+36×6+5=216−432+216+5=5.N(6) = 6^3 - 12 \times 6^2 + 36 \times 6 + 5 = 216 - 432 + 216 + 5 = 5. La population atteint un maximum local de 3737 centaines de milliers de bactéries à t=2t = 2 h, puis un minimum local de 55 centaines de milliers à t=6t = 6 h.
Réponse finale
Max local N(2)=37 ; min local N(6)=5 (centaines de milliers)\text{Max local } N(2) = 37 \ ; \ \text{min local } N(6) = 5 \ \text{(centaines de milliers)}
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