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Rêves Vision
Terminale ST2S

Pic de concentration d'un médicament

Énoncé

La concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang, tt heures après son injection, est donnée par C(t)=−t2+6t+1C(t) = -t^2 + 6t + 1 sur [0 ; 8][0\,;\,8]. Déterminer l'instant où la concentration est maximale, ainsi que cette concentration maximale.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver

    C′(t)=−2t+6.C'(t) = -2t + 6.

  2. 2. Étudier le signe de C′

    C′(t)=−2t+6=0  ⟺  t=3.C'(t) = -2t + 6 = 0 \iff t = 3. Le coefficient de tt est −2<0-2 < 0, donc C′(t)>0C'(t) > 0 pour t<3t < 3 et C′(t)<0C'(t) < 0 pour t>3t > 3. Ainsi CC est croissante sur [0 ; 3]\left[0\,;\,3\right] puis décroissante sur [3 ; 8]\left[3\,;\,8\right] : elle atteint un maximum en t=3t = 3.

  3. 3. Calculer la concentration maximale

    C(3)=−32+6×3+1=−9+18+1=10.C(3) = -3^2 + 6 \times 3 + 1 = -9 + 18 + 1 = 10. La concentration est donc maximale 33 heures après l'injection, et vaut alors 1010 mg/L.
Réponse finale
t=3 hetCmax⁡=C(3)=10 mg/Lt = 3 \text{ h} \quad\text{et}\quad C_{\max} = C(3) = 10 \text{ mg/L}
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