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Rêves Vision
Terminale ST2S

Tangente et recette d'un food-truck

Énoncé

Un food-truck ouvert sur une place modélise sa recette journalière (en euros) en fonction du nombre xx de menus vendus par R(x)=−2 x2+24 x+50R(x) = -2\,x^2 + 24\,x + 50 pour x∈[0 ; 12]x \in [0\,;\,12]. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de RR au point d'abscisse x=3x = 3, puis interpréter sa pente.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer R(3)

    R(3)=−2×32+24×3+50=−2×9+72+50=−18+72+50=104.R(3) = -2 \times 3^2 + 24 \times 3 + 50 = -2 \times 9 + 72 + 50 = -18 + 72 + 50 = 104. Pour 33 menus vendus, la recette est de 104104 euros.

  2. 2. Calculer la dérivée et R'(3)

    On dérive terme à terme : R′(x)=−2×2x+24=−4x+24R'(x) = -2 \times 2x + 24 = -4x + 24, donc R′(3)=−4×3+24=−12+24=12.R'(3) = -4 \times 3 + 24 = -12 + 24 = 12.

  3. 3. Écrire l'équation de la tangente

    La tangente au point d'abscisse a=3a = 3 a pour équation y=R′(3)(x−3)+R(3)=12 (x−3)+104.y = R'(3)(x - 3) + R(3) = 12\,(x - 3) + 104. En développant : y=12x−36+104=12x+68.y = 12x - 36 + 104 = 12x + 68.

  4. 4. Interpréter la pente

    La pente vaut R′(3)=12R'(3) = 12 : elle est positive, donc autour de 33 menus vendus la recette augmente encore d'environ 1212 euros par menu supplémentaire. L'équation de la tangente est y=12x+68y = 12x + 68, et son coefficient directeur 1212 indique qu'au voisinage de x=3x = 3 chaque menu vendu en plus rapporte environ 1212 euros.
Réponse finale
y=12x+68(pente 12 : environ 12 euros par menu suppleˊmentaire)y = 12x + 68 \quad\text{(pente } 12 \text{ : environ } 12 \text{ euros par menu supplémentaire)}
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