Variations du nombre d'abonnés d'une chaîne

On dérive terme à terme : $A'(t) = 3t^2 - 9 \times 2t + 24 = 3t^2 - 18t + 24.$

On met $3$ en facteur : $A'(t) = 3\left(t^2 - 6t + 8\right).$ Le trinôme $t^2 - 6t + 8$ a pour racines $2$ et $4$ (somme $6$, produit $8$), donc $A'(t) = 3(t - 2)(t - 4).$

$A'(t)$ est un trinôme de coefficient dominant $3 > 0$, donc positif à l'extérieur des racines $2$ et $4$ et négatif entre elles. D'après ce signe, $A$ est croissante sur $\left[0\,;\,2\right]$, décroissante sur $\left[2\,;\,4\right]$, puis croissante sur $\left[4\,;\,6\right]$.

Comme $A'$ passe de $+$ à $-$ en $t = 2$, il y a un maximum local : $A(2) = 2^3 - 9 \times 2^2 + 24 \times 2 + 5 = 8 - 36 + 48 + 5 = 25.$ Comme $A'$ passe de $-$ à $+$ en $t = 4$, il y a un minimum local : $A(4) = 4^3 - 9 \times 4^2 + 24 \times 4 + 5 = 64 - 144 + 96 + 5 = 21.$ Le nombre d'abonnés atteint un maximum local de $25$ milliers à $t = 2$ mois, puis un minimum local de $21$ milliers à $t = 4$ mois avant de repartir à la hausse.