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Terminale STMG

Food truck : point moyen et prévision du chiffre d'affaires

Énoncé

Un food truck installé près d'un lycée suit son chiffre d'affaires hebdomadaire (en euros) selon le rang de la semaine xx, sur ses 55 premières semaines d'activité : (1 ; 210)(1\,;\,210), (2 ; 235)(2\,;\,235), (3 ; 255)(3\,;\,255), (4 ; 282)(4\,;\,282), (5 ; 308)(5\,;\,308). La calculatrice donne la droite de régression y=24,3x+185,1y = 24{,}3x + 185{,}1 (coefficients arrondis au dixième). a. Calculer les coordonnées du point moyen GG. b. Vérifier que la droite de régression passe par GG. c. Estimer le chiffre d'affaires à la semaine de rang 4,54{,}5. d. Estimer le chiffre d'affaires à la semaine de rang 77, et indiquer pourquoi cette estimation doit être prise avec prudence.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Question a : calculer le point moyen

    Il y a n=5n = 5 couples. On calcule séparément les deux moyennes : xˉ=1+2+3+4+55=155=3\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3 et yˉ=210+235+255+282+3085=12905=258.\bar{y} = \dfrac{210 + 235 + 255 + 282 + 308}{5} = \dfrac{1290}{5} = 258. Le point moyen est donc G(3 ; 258).G(3\,;\,258).

  2. 2. Question b : vérifier que la droite passe par G

    On remplace xx par l'abscisse de GG, c'est-à-dire 33, dans l'équation de la droite : y=24,3×3+185,1=72,9+185,1=258.y = 24{,}3 \times 3 + 185{,}1 = 72{,}9 + 185{,}1 = 258. On retrouve bien l'ordonnée yˉ=258\bar{y} = 258 de GG : la droite de régression passe donc par le point moyen G(3 ; 258)G(3\,;\,258), comme attendu.

  3. 3. Question c : interpoler pour $x = 4{,}5$

    La valeur x=4,5x = 4{,}5 est comprise entre 11 et 55 : c'est une interpolation. On remplace xx par 4,54{,}5 dans l'équation : y=24,3×4,5+185,1=109,35+185,1=294,45.y = 24{,}3 \times 4{,}5 + 185{,}1 = 109{,}35 + 185{,}1 = 294{,}45. Le chiffre d'affaires estimé est donc d'environ 294,45294{,}45 €.

  4. 4. Question d : extrapoler pour x = 7

    On remplace cette fois xx par 77 : y=24,3×7+185,1=170,1+185,1=355,2.y = 24{,}3 \times 7 + 185{,}1 = 170{,}1 + 185{,}1 = 355{,}2. Le chiffre d'affaires estimé est d'environ 355,2355{,}2 €. La semaine de rang 77 est en dehors de la plage observée (de 11 à 55) : il s'agit donc d'une extrapolation. Rien ne garantit que la hausse se poursuive au même rythme (météo, lassitude des clients...), donc l'estimation n'est qu'un ordre de grandeur.

  5. 5. Conclure

    Le point moyen est G(3 ; 258)G(3\,;\,258) et la droite de régression passe bien par GG. À la semaine de rang 4,54{,}5, le chiffre d'affaires estimé est d'environ 294,45294{,}45 € (interpolation fiable). À la semaine de rang 77, il est estimé à 355,2355{,}2 €, mais par extrapolation, donc à interpréter avec prudence.
Réponse finale
G(3 ; 258)  ;  24,3×3+185,1=258 (passe par G)  ;  y(4,5)=294,45 (interpolation)  ;  y(7)=355,2 (extrapolation)G(3\,;\,258) \;;\; 24{,}3 \times 3 + 185{,}1 = 258 \text{ (passe par } G) \;;\; y(4{,}5) = 294{,}45 \text{ (interpolation)} \;;\; y(7) = 355{,}2 \text{ (extrapolation)}
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