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Terminale STMG

Point moyen puis interpolation du chiffre d'affaires

Énoncé

Une librairie suit son chiffre d'affaires annuel (en milliers d'euros) sur 55 ans, selon le rang de l'année xx : (1 ; 24)(1\,;\,24), (2 ; 27)(2\,;\,27), (3 ; 31)(3\,;\,31), (4 ; 35)(4\,;\,35), (5 ; 38)(5\,;\,38). La calculatrice donne la droite de régression y=3,6x+20,2y = 3{,}6x + 20{,}2 (coefficients arrondis au dixième). a. Déterminer les coordonnées du point moyen GG. b. Vérifier que la droite de régression passe par GG. c. Estimer le chiffre d'affaires de l'année de rang x=3,5x = 3{,}5.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Question a : calculer le point moyen

    Il y a n=5n = 5 couples. On calcule les deux moyennes : xˉ=1+2+3+4+55=155=3\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3 et yˉ=24+27+31+35+385=1555=31.\bar{y} = \dfrac{24 + 27 + 31 + 35 + 38}{5} = \dfrac{155}{5} = 31. Le point moyen est donc G(3 ; 31).G(3\,;\,31).

  2. 2. Question b : vérifier que la droite passe par G

    On remplace xx par l'abscisse de GG, c'est-à-dire 33, dans l'équation de la droite : y=3,6×3+20,2=10,8+20,2=31.y = 3{,}6 \times 3 + 20{,}2 = 10{,}8 + 20{,}2 = 31. On retrouve bien l'ordonnée yˉ=31\bar{y} = 31 de GG : la droite de régression passe donc par le point moyen G(3 ; 31)G(3\,;\,31), comme attendu.

  3. 3. Question c : estimer pour $x = 3{,}5$

    La valeur x=3,5x = 3{,}5 est comprise entre 11 et 55 : c'est une interpolation. On remplace xx par 3,53{,}5 dans l'équation : y=3,6×3,5+20,2=12,6+20,2=32,8.y = 3{,}6 \times 3{,}5 + 20{,}2 = 12{,}6 + 20{,}2 = 32{,}8. Le chiffre d'affaires estimé est donc d'environ 32,832{,}8 milliers d'euros.

  4. 4. Conclure

    Le point moyen est G(3 ; 31)G(3\,;\,31), la droite de régression passe bien par GG, et le chiffre d'affaires estimé pour x=3,5x = 3{,}5 est d'environ 32,832{,}8 milliers d'euros, soit 32 80032\,800 €. Comme 3,53{,}5 est à l'intérieur de la plage des données, cette interpolation est fiable.
Réponse finale
G(3 ; 31)  ;  3,6×3+20,2=31 (passe par G)  ;  y=3,6×3,5+20,2=32,8G(3\,;\,31) \;;\; 3{,}6 \times 3 + 20{,}2 = 31 \text{ (passe par } G) \;;\; y = 3{,}6 \times 3{,}5 + 20{,}2 = 32{,}8
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