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Terminale STMG

Revente de sneakers : étude complète et seuil à atteindre

Énoncé

Un lycéen revend des paires de sneakers en ligne et suit le nombre de paires vendues chaque mois selon le rang du mois xx, sur ses 55 premiers mois : (1 ; 40)(1\,;\,40), (2 ; 52)(2\,;\,52), (3 ; 61)(3\,;\,61), (4 ; 73)(4\,;\,73), (5 ; 84)(5\,;\,84). La calculatrice donne la droite de régression y=10,9x+29,3y = 10{,}9x + 29{,}3 (coefficients arrondis au dixième). a. Calculer les coordonnées du point moyen GG et vérifier que la droite passe par GG. b. Estimer le nombre de paires vendues au mois de rang 2,52{,}5. c. Estimer le nombre de paires vendues au mois de rang 88. d. En supposant la tendance maintenue, déterminer à partir de quel rang de mois le nombre de paires vendues dépasserait 150150. e. Ce lycéen affirme : « à ce rythme, je vendrai plus de 150150 paires par mois. » Que penser de cette affirmation ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour le point moyen, calcule séparément xˉ\bar{x} (moyenne des rangs, divise par 55) et yˉ\bar{y} (moyenne des nombres de paires, divise par 55). Pour la vérification, remplace xx par xˉ\bar{x} dans l'équation et compare le résultat à yˉ\bar{y}.
  2. À la question d, tu cherches le rang xx pour lequel yy dépasse 150150. Pose l'inéquation 10,9x+29,3>15010{,}9x + 29{,}3 > 150, isole xx (soustrais 29,329{,}3 puis divise par 10,910{,}9), puis arrondis : comme xx est un rang de mois, prends le premier entier qui convient.
  3. À la question e, calcule combien fait le rang trouvé à la question d en mois, puis demande-toi si une tendance mesurée sur seulement 55 mois peut vraiment se prolonger jusque-là : un marché de revente peut se saturer ou la mode changer.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Question a : point moyen et vérification

    Il y a n=5n = 5 couples. On calcule : xˉ=1+2+3+4+55=155=3\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3 et yˉ=40+52+61+73+845=3105=62.\bar{y} = \dfrac{40 + 52 + 61 + 73 + 84}{5} = \dfrac{310}{5} = 62. Donc G(3 ; 62).G(3\,;\,62). Vérification : pour x=3x = 3, y=10,9×3+29,3=32,7+29,3=62=yˉy = 10{,}9 \times 3 + 29{,}3 = 32{,}7 + 29{,}3 = 62 = \bar{y} : la droite passe bien par GG.

  2. 2. Question b : interpoler pour $x = 2{,}5$

    La valeur x=2,5x = 2{,}5 est comprise entre 11 et 55 : c'est une interpolation. On remplace xx par 2,52{,}5 dans l'équation : y=10,9×2,5+29,3=27,25+29,3=56,55.y = 10{,}9 \times 2{,}5 + 29{,}3 = 27{,}25 + 29{,}3 = 56{,}55. Comme un nombre de paires est entier, on estime donc environ 5757 paires vendues. L'estimation est fiable car on reste à l'intérieur des données.

  3. 3. Question c : extrapoler pour x = 8

    La valeur x=8x = 8 est en dehors de la plage observée (de 11 à 55) : c'est une extrapolation. On remplace xx par 88 : y=10,9×8+29,3=87,2+29,3=116,5.y = 10{,}9 \times 8 + 29{,}3 = 87{,}2 + 29{,}3 = 116{,}5. On estime donc environ 116116 à 117117 paires vendues, mais cette estimation est moins fiable car on sort de la plage des données.

  4. 4. Question d : résoudre l'inéquation

    On cherche le rang xx tel que y>150y > 150, c'est-à-dire 10,9x+29,3>150.10{,}9x + 29{,}3 > 150. On soustrait 29,329{,}3 aux deux membres : 10,9x>150−29,310{,}9x > 150 - 29{,}3, donc 10,9x>120,7.10{,}9x > 120{,}7. On divise les deux membres par 10,910{,}9 (positif, donc le sens de l'inégalité est conservé) : x>120,710,9x > \dfrac{120{,}7}{10{,}9}, donc x>11,07…x > 11{,}07\ldots Comme xx est un rang de mois (entier), le premier rang qui convient est x=12.x = 12. Vérification : pour x=11x = 11, y=10,9×11+29,3=149,2<150y = 10{,}9 \times 11 + 29{,}3 = 149{,}2 < 150, et pour x=12x = 12, y=10,9×12+29,3=160,1>150.y = 10{,}9 \times 12 + 29{,}3 = 160{,}1 > 150. C'est donc au 12e12^\text{e} mois que le nombre de paires dépasserait 150150.

  5. 5. Question e : nuancer l'affirmation

    D'après la question d, la droite prévoit plus de 150150 paires seulement à partir du 12e12^\text{e} mois. Or la tendance n'a été mesurée que sur 55 mois : la prolonger jusqu'au 12e12^\text{e} mois est une extrapolation lointaine. Rien ne garantit que la croissance reste linéaire aussi longtemps : le marché de la revente peut se saturer, la mode peut changer, la concurrence augmenter. L'affirmation n'est donc qu'un ordre de grandeur, à considérer avec prudence.

  6. 6. Conclure

    Le point moyen est G(3 ; 62)G(3\,;\,62) et la droite passe par GG. Au mois de rang 2,52{,}5, on estime environ 5757 paires (interpolation fiable) ; au mois de rang 88, environ 116116 paires (extrapolation). D'après la droite, le seuil de 150150 paires serait dépassé au 12e12^\text{e} mois. Mais comme ce rang est très loin de la plage observée (11 à 55 mois), cette prévision repose sur une extrapolation lointaine : elle n'est qu'un ordre de grandeur, et l'affirmation du lycéen ne peut pas être présentée comme une certitude.
Réponse finale
G(3 ; 62)  ;  y(2,5)=56,55≈57 (interpolation)  ;  y(8)=116,5 (extrapolation)  ;  10,9x+29,3>150⇒x>120,710,9≈11,07, donc x=12 (extrapolation lointaine, prudence)G(3\,;\,62) \;;\; y(2{,}5) = 56{,}55 \approx 57 \text{ (interpolation)} \;;\; y(8) = 116{,}5 \text{ (extrapolation)} \;;\; 10{,}9x + 29{,}3 > 150 \Rightarrow x > \dfrac{120{,}7}{10{,}9} \approx 11{,}07 \text{, donc } x = 12 \text{ (extrapolation lointaine, prudence)}
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