Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale

Banc de touche : au moins une carte spéciale (problème)

Énoncé

Dans un jeu de football, ton effectif compte 1414 joueurs, dont 44 sont des cartes spéciales (les 1010 autres sont des cartes normales). Pour un match, tu dois constituer un banc de touche de 55 joueurs : l'ordre n'a pas d'importance.

1. Combien de bancs de 55 joueurs différents peux-tu former ?
2. Combien de ces bancs contiennent au moins une carte spéciale ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'ordre du banc ne compte pas : chaque dénombrement est une combinaison (nk)\dbinom{n}{k}, jamais une permutation.
  2. Compter « au moins un » directement obligerait à séparer les cas (exactement 11, 22, 33, 44 cartes spéciales). Pense plutôt à l'événement contraire : « aucune carte spéciale ».
  3. « Aucune carte spéciale » signifie que les 55 joueurs sont choisis parmi les 1010 cartes normales seulement, soit (105)\dbinom{10}{5}. La réponse cherchée vaut alors (145)−(105)\dbinom{14}{5} - \dbinom{10}{5}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser un banc

    Un banc est un choix de 55 joueurs parmi 1414, sans ordre : c'est une combinaison. Le nombre total de bancs est donc (145)\dbinom{14}{5}.

  2. 2. Calculer le nombre total de bancs

    On garde 55 facteurs décroissants à partir de 1414 au numérateur et 5!5! au dénominateur : (145)=14×13×12×11×105!.\dbinom{14}{5} = \dfrac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5!}. Le numérateur vaut 14×13×12×11×10=240 24014 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 = 240\,240 et 5!=1205! = 120, donc (145)=240 240120=2 002.\dbinom{14}{5} = \dfrac{240\,240}{120} = 2\,002.

  3. 3. Passer par l'événement contraire

    « Au moins une carte spéciale » est difficile à compter directement. On passe par le contraire : « aucune carte spéciale », c'est-à-dire les 55 joueurs choisis uniquement parmi les 1010 cartes normales. Ce nombre est (105)=10×9×8×7×65!=30 240120=252.\dbinom{10}{5} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5!} = \dfrac{30\,240}{120} = 252.

  4. 4. Soustraire et conclure

    Le nombre de bancs contenant au moins une carte spéciale est le nombre total moins ceux qui n'en contiennent aucune : (145)−(105)=2 002−252=1 750.\dbinom{14}{5} - \dbinom{10}{5} = 2\,002 - 252 = 1\,750.

    En résumé : 2 002\mathbf{2\,002} bancs au total, dont 1 750\mathbf{1\,750} contiennent au moins une carte spéciale.
Réponse finale
(145)=2 002;(145)−(105)=2 002−252=1 750\dbinom{14}{5} = 2\,002 \quad ; \quad \dbinom{14}{5} - \dbinom{10}{5} = 2\,002 - 252 = 1\,750
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Combinatoire et dénombrement ← Retour au cours

À suivre