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Terminale

Calculer un coefficient binomial avec la formule

Énoncé

À l'aide de la formule (nk)=n!k! (n−k)!\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, calculer :

1. (62)\dbinom{6}{2}
2. (103)\dbinom{10}{3}

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer le premier coefficient

    On applique la formule avec n=6n = 6 et k=2k = 2 : (62)=6!2! (6−2)!=6!2! 4!.\dbinom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!\,(6-2)!} = \dfrac{6!}{2!\,4!}. Or 6!=7206! = 720, 2!=22! = 2 et 4!=244! = 24, donc (62)=7202×24=72048=15.\dbinom{6}{2} = \dfrac{720}{2 \times 24} = \dfrac{720}{48} = 15.

  2. 2. Calculer le second coefficient

    Avec n=10n = 10 et k=3k = 3 : (103)=10!3! 7!.\dbinom{10}{3} = \dfrac{10!}{3!\,7!}. Plus rapide, on garde 33 facteurs décroissants à partir de 1010 au numérateur et 3!3! au dénominateur : (103)=10×9×83×2×1=7206=120.\dbinom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{6} = 120.

  3. 3. Conclure

    On a donc (62)=15\dbinom{6}{2} = 15 et (103)=120\dbinom{10}{3} = 120. Ces nombres sont bien des entiers, ce qui est cohérent pour des coefficients binomiaux.
Réponse finale
(62)=15et(103)=120\dbinom{6}{2} = 15 \quad \text{et} \quad \dbinom{10}{3} = 120
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