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Terminale

Concavité d'un score de recommandation

Énoncé

Une application de streaming évalue la satisfaction d'un abonné selon le nombre xx de vidéos pertinentes qu'elle lui recommande chaque jour. Pour x≥0x \geq 0, cette satisfaction (sur 100) est modélisée par S(x)=40ln⁡(x+1)S(x) = 40\ln(x + 1). Montrer que la fonction SS est concave sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, puis interpréter ce résultat pour l'application.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée première

    Pour x≥0x \geq 0, on a x+1>0x + 1 > 0 : SS est dérivable. La dérivée de ln⁡(x+1)\ln(x + 1) est 1x+1\dfrac{1}{x + 1}, donc S′(x)=40×1x+1=40x+1.S'(x) = 40 \times \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{40}{x + 1}.

  2. 2. Calculer la dérivée seconde

    On dérive S′(x)=40x+1S'(x) = \dfrac{40}{x + 1}. Avec (1u)′=−u′u2\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^{2}} où u(x)=x+1u(x) = x + 1 et u′(x)=1u'(x) = 1 : S′′(x)=40×(−1(x+1)2)=−40(x+1)2.S''(x) = 40 \times \left(-\dfrac{1}{(x + 1)^{2}}\right) = -\dfrac{40}{(x + 1)^{2}}.

  3. 3. Étudier le signe de $S''$

    Pour tout x≥0x \geq 0, (x+1)2>0(x + 1)^{2} > 0, donc 40(x+1)2>0\dfrac{40}{(x + 1)^{2}} > 0. Par conséquent S′′(x)=−40(x+1)2<0S''(x) = -\dfrac{40}{(x + 1)^{2}} < 0 sur [0 ;+∞[.[0\,;+\infty[.

  4. 4. Conclure sur la concavité

    Comme S′′(x)≤0S''(x) \leq 0 sur tout l'intervalle, la fonction SS est concave sur [0 ;+∞[.[0\,;+\infty[.

  5. 5. Interpréter pour l'application

    SS étant concave, sa courbe est tournée vers le bas : chaque nouvelle vidéo pertinente augmente encore la satisfaction (car S′(x)>0S'(x) > 0), mais de moins en moins au fur et à mesure que xx grandit. Recommander toujours plus de vidéos rapporte donc des gains de satisfaction de plus en plus faibles.
Réponse finale
S′′(x)=−40(x+1)2<0, donc S est concave sur [0 ;+∞[S''(x) = -\dfrac{40}{(x + 1)^{2}} < 0,\ \text{donc } S \text{ est concave sur } [0\,;+\infty[
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