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Rêves Vision
Terminale

Étudier la convexité de la fonction cube

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3f(x) = x^3. Étudier la convexité de ff en précisant les intervalles où elle est convexe et ceux où elle est concave.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée seconde

    f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2, puis f′′(x)=6x.f''(x) = 6x.

  2. 2. Étudier le signe de $f''$

    Le signe de f′′(x)=6xf''(x) = 6x est celui de xx : f′′(x)≤0f''(x) \leq 0 pour x≤0x \leq 0 et f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pour x≥0x \geq 0.

  3. 3. Conclure

    Là où f′′≤0f'' \leq 0, ff est concave ; là où f′′≥0f'' \geq 0, ff est convexe. Donc ff est concave sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0] et convexe sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.
Réponse finale
f concave sur ]−∞ ;0], convexe sur [0 ;+∞[f \text{ concave sur } ]-\infty\,;0],\ \text{convexe sur } [0\,;+\infty[
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