Convexité d'un polynôme de degré 4

$f$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On dérive terme par terme : $f'(x) = 4x^{3} - 12x$, puis $f''(x) = 12x^{2} - 24.$

On factorise par $12$ : $f''(x) = 12\,(x^{2} - 2).$ D'après l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ avec $b = \sqrt{2}$, on obtient $f''(x) = 12\,(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}).$

$f''(x) = 12\,(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ s'annule en $x = -\sqrt{2}$ et $x = \sqrt{2}$. C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant $12 > 0$ : il est donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Ainsi $f''(x) \geq 0$ sur $]-\infty\,;-\sqrt{2}]$ et sur $[\sqrt{2}\,;+\infty[$, et $f''(x) \leq 0$ sur $[-\sqrt{2}\,;\sqrt{2}].$

Là où $f'' \geq 0$, $f$ est convexe ; là où $f'' \leq 0$, $f$ est concave. Donc $f$ est convexe sur $]-\infty\,;-\sqrt{2}]$, concave sur $[-\sqrt{2}\,;\sqrt{2}]$, puis de nouveau convexe sur $[\sqrt{2}\,;+\infty[.$

En $x = -\sqrt{2}$ et en $x = \sqrt{2}$, $f''$ s'annule en changeant de signe : la convexité change donc deux fois. Les ordonnées valent $f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{4} - 6 \times (\sqrt{2})^{2} + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$, et de même $f(-\sqrt{2}) = -3$ (la fonction est paire). La courbe admet deux points d'inflexion, $(-\sqrt{2}\,;-3)$ et $(\sqrt{2}\,;-3)$.