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Terminale

Lire la convexité sur une situation donnée

Énoncé

On étudie une fonction gg deux fois dérivable sur [−3 ;3][-3\,;3]. Sa dérivée seconde g′′g'' est négative sur [−3 ;1][-3\,;1], s'annule en x=1x = 1, puis est positive sur [1 ;3][1\,;3]. Décrire la convexité de gg et préciser si sa courbe possède un point d'inflexion.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire le signe de $g''$ en convexité

    La convexité se lit sur le signe de g′′g''. Sur [−3 ;1][-3\,;1], g′′(x)≤0g''(x) \leq 0 : gg est concave (courbe au-dessous de ses tangentes). Sur [1 ;3][1\,;3], g′′(x)≥0g''(x) \geq 0 : gg est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes).

  2. 2. Repérer un changement de convexité

    En x=1x = 1, g′′g'' s'annule en changeant de signe (du négatif au positif) : la convexité change, donc la courbe de gg admet un point d'inflexion d'abscisse x=1x = 1.

  3. 3. Conclure

    gg est concave sur [−3 ;1][-3\,;1], convexe sur [1 ;3][1\,;3], et sa courbe présente un point d'inflexion en x=1x = 1 : c'est l'endroit où elle cesse d'être tournée vers le bas pour se tourner vers le haut.
Réponse finale
g concave sur [−3 ;1], convexe sur [1 ;3] ; inflexion en x=1g \text{ concave sur } [-3\,;1],\ \text{convexe sur } [1\,;3]\ ;\ \text{inflexion en } x = 1
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