Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale

Point d'inflexion dans la croissance d'un jeu

Énoncé

Un studio suit le nombre de joueurs actifs de son jeu vidéo après sa sortie. Pour tt compris entre 00 et 1212 (en mois), ce nombre, exprimé en milliers de joueurs, est modélisé par P(t)=−t3+18t2+50P(t) = -t^{3} + 18t^{2} + 50. Étudier la convexité de PP sur [0 ;12][0\,;12], déterminer le point d'inflexion de sa courbe, et expliquer ce qu'il représente pour le studio.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde : commence par calculer P′(t)P'(t), puis P′′(t)P''(t).
  2. P′′(t)=−6t+36P''(t) = -6t + 36 est une expression affine : factorise-la par −6-6 pour repérer facilement où elle s'annule et change de signe.
  3. Le point d'inflexion a pour abscisse la valeur où P′′P'' s'annule en changeant de signe ; calcule ensuite son ordonnée avec P(6)P(6) en respectant l'ordre des opérations.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer les deux premières dérivées

    PP est un polynôme, deux fois dérivable sur [0 ;12][0\,;12]. On dérive terme par terme : P′(t)=−3t2+36tP'(t) = -3t^{2} + 36t, puis P′′(t)=−6t+36.P''(t) = -6t + 36.

  2. 2. Factoriser $P''$ et étudier son signe

    On factorise par −6-6 : P′′(t)=−6 (t−6).P''(t) = -6\,(t - 6). Sur [0 ;6][0\,;6], t−6≤0t - 6 \leq 0 donc P′′(t)≥0P''(t) \geq 0 ; sur [6 ;12][6\,;12], t−6≥0t - 6 \geq 0 donc P′′(t)≤0.P''(t) \leq 0.

  3. 3. Conclure sur la convexité

    Là où P′′≥0P'' \geq 0, PP est convexe ; là où P′′≤0P'' \leq 0, PP est concave. Donc PP est convexe sur [0 ;6][0\,;6] et concave sur [6 ;12].[6\,;12].

  4. 4. Déterminer le point d'inflexion

    En t=6t = 6, P′′P'' s'annule en changeant de signe (du positif au négatif) : la convexité change. L'ordonnée vaut P(6)=−63+18×62+50=−216+18×36+50=−216+648+50=482.P(6) = -6^{3} + 18 \times 6^{2} + 50 = -216 + 18 \times 36 + 50 = -216 + 648 + 50 = 482. La courbe admet donc un point d'inflexion en (6 ;482).(6\,;482).

  5. 5. Interpréter pour le studio

    Sur [0 ;6][0\,;6], PP est convexe : le nombre de joueurs augmente de plus en plus vite. Sur [6 ;12][6\,;12], PP est concave : il continue d'augmenter, mais de moins en moins vite. Le point d'inflexion en t=6t = 6 marque le moment où la croissance cesse d'accélérer et commence à ralentir, soit le 6e mois, avec 482 milliers de joueurs.
Réponse finale
P convexe sur [0 ;6], concave sur [6 ;12] ; point d’inflexion (6 ;482)P \text{ convexe sur } [0\,;6],\ \text{concave sur } [6\,;12]\ ;\ \text{point d'inflexion } (6\,;482)
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

La convexité : dérivée seconde, point d'inflexion ← Retour au cours

À suivre