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Rêves Vision
Terminale

Dériver une somme de fonctions composées

Énoncé

Dans une appli de montage audio, le niveau d'un effet sonore au temps xx (en secondes) est modélisé sur R\mathbb{R} par f(x)=5cos⁡(2x)+sin⁡(3x)f(x) = 5\cos(2x) + \sin(3x). Pour régler la vitesse de variation de cet effet, on a besoin de la fonction dérivée f′f'. Déterminer f′(x)f'(x).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Utiliser la linéarité de la dérivation

    La fonction ff est une somme de deux termes, donc f′(x)=(5cos⁡(2x))′+(sin⁡(3x))′.f'(x) = \big(5\cos(2x)\big)' + \big(\sin(3x)\big)'. On dérive chaque terme séparément.

  2. 2. Dériver le terme en cosinus

    Le terme 5cos⁡(2x)5\cos(2x) est de la forme kcos⁡(ax+b)k\cos(ax + b) avec k=5k = 5, a=2a = 2 et b=0b = 0. D'après la formule (cos⁡(ax+b))′=−a sin⁡(ax+b)\big(\cos(ax + b)\big)' = -a\,\sin(ax + b), on obtient (5cos⁡(2x))′=5×(−2)sin⁡(2x)=−10sin⁡(2x).\big(5\cos(2x)\big)' = 5 \times (-2)\sin(2x) = -10\sin(2x).

  3. 3. Dériver le terme en sinus

    Le terme sin⁡(3x)\sin(3x) est de la forme sin⁡(ax+b)\sin(ax + b) avec a=3a = 3 et b=0b = 0. D'après la formule (sin⁡(ax+b))′=a cos⁡(ax+b)\big(\sin(ax + b)\big)' = a\,\cos(ax + b), on obtient (sin⁡(3x))′=3cos⁡(3x).\big(\sin(3x)\big)' = 3\cos(3x).

  4. 4. Conclure

    En additionnant les deux dérivées, on trouve f′(x)=−10sin⁡(2x)+3cos⁡(3x).f'(x) = -10\sin(2x) + 3\cos(3x). La dérivée cherchée est f′(x)=−10sin⁡(2x)+3cos⁡(3x)f'(x) = -10\sin(2x) + 3\cos(3x).
Réponse finale
f′(x)=−10sin⁡(2x)+3cos⁡(3x)f'(x) = -10\sin(2x) + 3\cos(3x)
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