Terminale · Chapitre 9

Les fonctions trigonométriques

Cours de Terminale sur les fonctions sinus et cosinus : parité, périodicité 2π, dérivées (sin)′ = cos et (cos)′ = −sin, dérivées composées et variations.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Le produit scalaire

Les fonctions sinus et cosinus prolongent à tout $\mathbb{R}$ les valeurs lues sur le cercle trigonométrique. Savoir les dériver permet d’étudier leurs variations et tous les phénomènes périodiques (oscillations, ondes, signaux).

Fonctions sinus et cosinus

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont définies sur $\mathbb{R}$ . Pour tout réel $x$ , $\cos x$ et $\sin x$ sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à l’angle $x$ . On a toujours : $-1 \leq \cos x \leq 1 \qquad \text{et} \qquad -1 \leq \sin x \leq 1.$

Périodicité et parité

Périodicité : $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \text{et} \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$
Parité : $\cos$ est paire ( $\cos(-x) = \cos x$ ) ; $\sin$ est impaire ( $\sin(-x) = -\sin x$ ).

On peut donc étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$ , par exemple $[-\pi\,;\,\pi]$ ou $[0\,;\,2\pi]$ , puis reproduire le motif par périodicité.

Dérivées de sinus et cosinus

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et : $(\sin x)' = \cos x \qquad \text{et} \qquad (\cos x)' = -\sin x.$ Le signe moins apparaît uniquement quand on dérive le cosinus.

Dérivées des fonctions composées

Pour tous réels $a$ et $b$ , les fonctions $x \mapsto \sin(ax + b)$ et $x \mapsto \cos(ax + b)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et : $\big(\sin(ax + b)\big)' = a\,\cos(ax + b) \qquad \big(\cos(ax + b)\big)' = -a\,\sin(ax + b).$ Le facteur $a$ provient de la dérivée de l’expression intérieure $ax + b$ .

Étudier les variations sur un intervalle

Calculer la dérivée $f'$ en utilisant $(\sin)' = \cos$ et $(\cos)' = -\sin$ (et, si besoin, les règles de produit ou de composée).
Étudier le signe de $f'$ sur l’intervalle, à l’aide du cercle trigonométrique.
En déduire le tableau de variations : $f$ croît là où $f' > 0$ , décroît là où $f' < 0$ .
Repérer les extremums aux points où $f'$ s’annule en changeant de signe.

Les pièges classiques

Oublier le signe moins : $(\cos x)' = -\sin x$ , et pas $\sin x$ .
Oublier le facteur $a$ dans une composée : $(\cos(2x))' = -2\sin(2x)$ , et non $-\sin(2x)$ .
Confondre parité et dérivée : $\cos$ est paire, mais sa dérivée $-\sin$ est impaire.

Exercices corrigés

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Dériver une fonction composée

Dériver la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x)$ .

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Dériver une somme avec sinus et cosinus

Dériver la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin x + \cos x$ .

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Étudier la parité d'une fonction trigonométrique

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos x - \sin x$ . Déterminer si la fonction $f$ est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.

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Dériver un produit trigonométrique

Dériver la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\sin x$ .

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Dériver une somme de fonctions composées

Dans une appli de montage audio, le niveau d'un effet sonore au temps $x$ (en secondes) est modélisé sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5\cos(2x) + \sin(3x)$ . Pour régler la vitesse de variation de cet effet, on a besoin de la fonction dérivée $f'$ . Déterminer $f'(x)$ .

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Déterminer une équation de tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin x$ . Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .

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Affluence d'un serveur de jeu modélisée par un sinus

Sur un serveur de jeu en ligne, le nombre de joueurs connectés (en milliers) au temps $t$ (en heures, avec $0 \leq t \leq 24$ sur un cycle de $24$ heures) est modélisé par $f(t) = 50 + 20\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\,t\right)$ . Calculer $f'(t)$ , étudier son signe sur $[0\,;\,24]$ , puis déterminer à quelle heure l'affluence est maximale et combien de joueurs sont alors connectés.

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Bonus

Étude de la fonction sinus sur [0 ; 2π]

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,2\pi]$ par $f(x) = \sin x$ . Étudier le signe de $f'(x)$ , dresser le tableau de variations de $f$ et préciser ses extremums.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de sinus et de cosinus ?

La dérivée de la fonction sinus est cosinus : (sin x)′ = cos x. La dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de sinus : (cos x)′ = −sin x. Attention au signe moins qui apparaît seulement pour le cosinus.

Les fonctions sinus et cosinus sont-elles paires ou impaires ?

Le cosinus est une fonction paire : cos(−x) = cos x, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Le sinus est une fonction impaire : sin(−x) = −sin x, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Comment dériver sin(ax + b) ou cos(ax + b) ?

On applique la dérivée d'une fonction composée : (sin(ax + b))′ = a·cos(ax + b) et (cos(ax + b))′ = −a·sin(ax + b). Le facteur a est la dérivée de ce qui est à l'intérieur.