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Terminale

Étudier la parité d'une fonction trigonométrique

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡x−sin⁡xf(x) = \cos x - \sin x. Déterminer si la fonction ff est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.

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  1. 1. Rappeler les définitions

    Une fonction est paire si f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) pour tout xx, et impaire si f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) pour tout xx. On commence donc par calculer f(−x).f(-x).

  2. 2. Calculer f(-x)

    Pour tout réel xx, f(−x)=cos⁡(−x)−sin⁡(−x).f(-x) = \cos(-x) - \sin(-x). Or cos⁡\cos est paire, donc cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x, et sin⁡\sin est impaire, donc sin⁡(−x)=−sin⁡x.\sin(-x) = -\sin x. On en déduit f(−x)=cos⁡x−(−sin⁡x)=cos⁡x+sin⁡x.f(-x) = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x.

  3. 3. Tester la parité

    On a f(−x)=cos⁡x+sin⁡xf(-x) = \cos x + \sin x, alors que f(x)=cos⁡x−sin⁡x.f(x) = \cos x - \sin x. Pour montrer que ff n'est pas paire, il suffit d'un contre-exemple : en x=π2x = \dfrac{\pi}{2}, f ⁣(−π2)=cos⁡π2+sin⁡π2=0+1=1f\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} + \sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 = 1, alors que f ⁣(π2)=cos⁡π2−sin⁡π2=0−1=−1.f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} - \sin\dfrac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1. Comme 1≠−11 \neq -1, on a f(−x)≠f(x)f(-x) \neq f(x) : ff n'est pas paire.

  4. 4. Tester l'imparité

    Pour montrer que ff n'est pas impaire, on cherche un xx tel que f(−x)≠−f(x).f(-x) \neq -f(x). En x=0x = 0 : f(−0)=f(0)=cos⁡0−sin⁡0=1f(-0) = f(0) = \cos 0 - \sin 0 = 1, alors que −f(0)=−1.-f(0) = -1. Comme 1≠−11 \neq -1, on a f(−x)≠−f(x)f(-x) \neq -f(x) : ff n'est pas impaire.

  5. 5. Conclure

    Comme f(−x)f(-x) n'est égal ni à f(x)f(x) ni à −f(x)-f(x) pour tout xx, la fonction ff n'est ni paire ni impaire. La fonction ff n'est ni paire ni impaire.
Réponse finale
f(−x)=cos⁡x+sin⁡x:f n’est ni paire ni impaire.f(-x) = \cos x + \sin x : f \text{ n'est ni paire ni impaire.}
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