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Terminale

Affluence d'un serveur de jeu modélisée par un sinus

Énoncé

Sur un serveur de jeu en ligne, le nombre de joueurs connectés (en milliers) au temps tt (en heures, avec 0≤t≤240 \leq t \leq 24 sur un cycle de 2424 heures) est modélisé par f(t)=50+20sin⁡ ⁣(π12 t)f(t) = 50 + 20\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\,t\right). Calculer f′(t)f'(t), étudier son signe sur [0 ; 24][0\,;\,24], puis déterminer à quelle heure l'affluence est maximale et combien de joueurs sont alors connectés.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le terme constant 5050 disparaît en dérivant. Pour le reste, identifie aa et bb dans 20sin⁡(at+b)20\sin(at + b), puis applique (sin⁡(at+b))′=a cos⁡(at+b).\big(\sin(at + b)\big)' = a\,\cos(at + b).
  2. Le facteur 5π3\dfrac{5\pi}{3} devant le cosinus est positif : le signe de f′(t)f'(t) ne dépend donc que de cos⁡ ⁣(π12t).\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}t\right). Pose u=π12tu = \dfrac{\pi}{12}t pour te ramener au signe du cosinus sur [0 ; 2π].[0\,;\,2\pi].
  3. Le maximum est atteint là où f′f' s'annule en passant de ++ à −-, c'est-à-dire quand cos⁡u=0\cos u = 0 avec u=π2u = \dfrac{\pi}{2}, donc t=6.t = 6. Reporte ensuite t=6t = 6 dans f(t)f(t) et n'oublie pas le +50.+50.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée

    Le terme constant 5050 a une dérivée nulle. Le terme 20sin⁡ ⁣(π12t)20\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}t\right) est de la forme ksin⁡(at+b)k\sin(at + b) avec k=20k = 20, a=π12a = \dfrac{\pi}{12} et b=0.b = 0. D'après (sin⁡(at+b))′=a cos⁡(at+b)\big(\sin(at + b)\big)' = a\,\cos(at + b), on obtient f′(t)=20×π12cos⁡ ⁣(π12t)=5π3cos⁡ ⁣(π12t).f'(t) = 20 \times \dfrac{\pi}{12}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}t\right) = \dfrac{5\pi}{3}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}t\right).

  2. 2. Ramener le signe à celui d'un cosinus

    Le facteur 5π3\dfrac{5\pi}{3} est strictement positif, donc le signe de f′(t)f'(t) est celui de cos⁡ ⁣(π12t).\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}t\right). Posons u=π12t.u = \dfrac{\pi}{12}t. Quand tt parcourt [0 ; 24][0\,;\,24], uu parcourt [0 ; 2π][0\,;\,2\pi], car pour t=24t = 24 on a u=π12×24=2π.u = \dfrac{\pi}{12}\times 24 = 2\pi.

  3. 3. Étudier le signe de cos u

    Sur [0 ; 2π][0\,;\,2\pi], d'après le cercle trigonométrique : cos⁡u>0\cos u > 0 sur [0 ; π2[\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[ et sur ]3π2 ; 2π]\left]\dfrac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right] ; cos⁡u<0\cos u < 0 sur ]π2 ; 3π2[.\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right[. Le cosinus s'annule pour u=π2u = \dfrac{\pi}{2} et u=3π2.u = \dfrac{3\pi}{2}.

  4. 4. Revenir à la variable t

    On résout π12t=π2\dfrac{\pi}{12}t = \dfrac{\pi}{2}, donc t=122=6t = \dfrac{12}{2} = 6, et π12t=3π2\dfrac{\pi}{12}t = \dfrac{3\pi}{2}, donc t=12×32=18.t = \dfrac{12 \times 3}{2} = 18. Ainsi f′(t)>0f'(t) > 0 sur [0 ; 6[[0\,;\,6[, f′(t)<0f'(t) < 0 sur ]6 ; 18[]6\,;\,18[, puis f′(t)>0f'(t) > 0 sur ]18 ; 24].]18\,;\,24].

  5. 5. Déterminer le maximum

    En t=6t = 6, la dérivée passe du signe ++ au signe −- : ff admet donc un maximum en t=6.t = 6. On calcule f(6)=50+20sin⁡ ⁣(π12×6)=50+20sin⁡π2=50+20×1=70.f(6) = 50 + 20\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\times 6\right) = 50 + 20\sin\dfrac{\pi}{2} = 50 + 20 \times 1 = 70. L'affluence est maximale au bout de 66 heures, avec 7070 milliers de joueurs connectés (soit 70 00070\,000 joueurs).
Réponse finale
f′(t)=5π3cos⁡ ⁣(π12t). Maximum en t=6 h, avec f(6)=70 milliers de joueurs.f'(t) = \dfrac{5\pi}{3}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}t\right). \text{ Maximum en } t = 6 \text{ h, avec } f(6) = 70 \text{ milliers de joueurs.}
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