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Rêves Vision
Terminale

Déterminer une asymptote horizontale

Énoncé

Soit f(x)=3x+1x+2f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 2}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) et en déduire une asymptote.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Lever l'indétermination ∞/∞

    On factorise par xx au numérateur et au dénominateur : f(x)=x(3+1x)x(1+2x)=3+1x1+2x.f(x) = \dfrac{x\left(3 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)} = \dfrac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}.

  2. 2. Passer à la limite

    Comme 1x→0\frac{1}{x} \to 0 et 2x→0\frac{2}{x} \to 0, on obtient lim⁡x→+∞f(x)=31=3.\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac{3}{1} = 3.

  3. 3. Conclure

    La droite d'équation y=3y = 3 est une asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty.
Réponse finale
lim⁡x→+∞f(x)=3 ; asymptote y=3\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3 \ ; \ \text{asymptote } y = 3
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