Terminale · Chapitre 2

Limites de fonctions

Cours de Terminale sur les limites de fonctions : limites en l'infini, limites usuelles, asymptotes et formes indéterminées. Avec exercices corrigés pas à pas.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

La dérivation

Étudier une limite, c’est décrire le comportement d’une fonction aux bords de son domaine : que devient $f(x)$ quand $x$ part vers l’infini, ou s’approche d’une valeur interdite ? C’est ce qui révèle les asymptotes d’une courbe.

Limite en l'infini

Dire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche autant qu’on veut du réel $L$ lorsque $x$ devient très grand. Si $f(x)$ devient infiniment grand, on écrit $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

Limites usuelles

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

Limite d'un polynôme à l'infini

En $+\infty$ ou $-\infty$ , la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

Asymptotes

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (réel), la droite $y = L$ est asymptote horizontale.
Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Lever une forme indéterminée (quotient)

Pour une fonction rationnelle en $\pm\infty$ menant à $\frac{\infty}{\infty}$ : factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis simplifier.

Attention aux formes indéterminées

« $\infty - \infty$ » ne vaut pas $0$ , et « $\frac{\infty}{\infty}$ » ne vaut pas $1$ : ce sont des formes indéterminées. Il faut transformer l’expression avant de conclure.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Audience d'un stream sur le long terme

Un streamer modélise le nombre moyen de spectateurs (en milliers) au bout de $x$ jours de diffusion par $N(x) = 50 - \dfrac{200}{x}$ , pour $x \geqslant 1$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} N(x)$ et interpréter le résultat.

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Limite d'un polynôme en l'infini

Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( x^2 - 3x + 1 \right)$ .

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Limite faisant intervenir 1 sur x

Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( 2 + \frac{1}{x} \right)$ .

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Coût d'un data center en l'infini

Le coût total (en euros) d'exploitation d'un service de stockage en ligne pour $x$ milliers d'utilisateurs est modélisé par $C(x) = 2x^2 - 5x$ , avec $x \geqslant 1$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} C(x)$ .

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Déterminer une asymptote horizontale

Soit $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 2}$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et en déduire une asymptote.

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Lever une forme indéterminée

Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{x^2 + 3}$ .

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Bonus

Étudier une asymptote verticale

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ , définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Étudier les limites de $f$ en $2$ et en déduire une asymptote.

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Saturation d'un serveur de jeu

Sur un serveur d'un jeu en ligne, le nombre de parties traitées par seconde au bout de $t$ minutes après l'ouverture est modélisé par $D(t) = \dfrac{500\,t^2}{t^2 + 9}$ , pour $t \geqslant 0$ .

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} D(t)$ .
2. En déduire l'asymptote correspondante et interpréter ce que cela signifie pour la capacité du serveur.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment calculer la limite d'un polynôme en l'infini ?

La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou −∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

Qu'est-ce qu'une asymptote horizontale ?

Si la limite de f en +∞ (ou −∞) est un réel L, alors la droite d'équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe de f.

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

C'est une expression comme « ∞ − ∞ » ou « ∞/∞ » dont on ne peut pas conclure directement la limite. Il faut transformer l'écriture (factoriser, simplifier) pour lever l'indétermination.