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Rêves Vision
Terminale

Coût d'un data center en l'infini

Énoncé

Le coût total (en euros) d'exploitation d'un service de stockage en ligne pour xx milliers d'utilisateurs est modélisé par C(x)=2x2−5xC(x) = 2x^2 - 5x, avec x⩾1x \geqslant 1. Déterminer lim⁡x→+∞C(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} C(x).

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  1. 1. Identifier la forme indéterminée

    Quand x→+∞x \to +\infty, 2x2→+∞2x^2 \to +\infty et 5x→+∞5x \to +\infty : on obtient une forme indéterminée ∞−∞\infty - \infty, on ne peut pas conclure directement.

  2. 2. Factoriser par le terme de plus haut degré

    On factorise par x2x^2 : C(x)=x2(2−5x).C(x) = x^2\left(2 - \dfrac{5}{x}\right).

  3. 3. Passer à la limite par produit

    D'une part lim⁡x→+∞x2=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty ; d'autre part 5x→0\dfrac{5}{x} \to 0 donc 2−5x→22 - \dfrac{5}{x} \to 2 (réel strictement positif). Par produit, lim⁡x→+∞C(x)=+∞.\displaystyle\lim_{x \to +\infty} C(x) = +\infty.

  4. 4. Conclure

    Le coût d'exploitation croît sans limite quand le nombre d'utilisateurs augmente : lim⁡x→+∞C(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} C(x) = +\infty.
Réponse finale
lim⁡x→+∞(2x2−5x)=+∞\lim_{x \to +\infty} (2x^2 - 5x) = +\infty
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