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Terminale

Saturation d'un serveur de jeu

Énoncé

Sur un serveur d'un jeu en ligne, le nombre de parties traitées par seconde au bout de tt minutes après l'ouverture est modélisé par D(t)=500 t2t2+9D(t) = \dfrac{500\,t^2}{t^2 + 9}, pour t⩾0t \geqslant 0.

1. Déterminer lim⁡t→+∞D(t)\displaystyle\lim_{t \to +\infty} D(t).
2. En déduire l'asymptote correspondante et interpréter ce que cela signifie pour la capacité du serveur.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers +∞+\infty : c'est une forme indéterminée ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, il faut transformer l'écriture avant de conclure.
  2. Factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, c'est-à-dire par t2t^2, puis simplifie la fraction.
  3. Après simplification, utilise lim⁡t→+∞9t2=0\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \dfrac{9}{t^2} = 0. Une limite finie LL donne une asymptote horizontale d'équation y=Ly = L.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier la forme indéterminée

    Quand t→+∞t \to +\infty, le numérateur 500 t2→+∞500\,t^2 \to +\infty et le dénominateur t2+9→+∞t^2 + 9 \to +\infty : on obtient une forme indéterminée ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}.

  2. 2. Factoriser par t au carré

    On factorise haut et bas par t2t^2, le terme de plus haut degré : D(t)=t2×500t2(1+9t2)=5001+9t2.D(t) = \dfrac{t^2 \times 500}{t^2\left(1 + \dfrac{9}{t^2}\right)} = \dfrac{500}{1 + \dfrac{9}{t^2}}.

  3. 3. Passer à la limite

    Comme lim⁡t→+∞9t2=0\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \dfrac{9}{t^2} = 0, le dénominateur tend vers 1+0=11 + 0 = 1, donc lim⁡t→+∞D(t)=5001=500.\displaystyle\lim_{t \to +\infty} D(t) = \dfrac{500}{1} = 500.

  4. 4. Asymptote et interprétation

    La limite étant le réel 500500, la droite d'équation y=500y = 500 est une asymptote horizontale à la courbe de DD en +∞+\infty. Concrètement, le débit du serveur plafonne : il se rapproche de 500500 parties par seconde sans jamais dépasser cette capacité maximale.
Réponse finale
lim⁡t→+∞D(t)=500 ; asymptote y=500\lim_{t \to +\infty} D(t) = 500 \ ; \ \text{asymptote } y = 500
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