Fiche de révision · Terminale

Revision bac : analyse

Fiche de revision bac analyse en Terminale : limites, continuite et TVI, derivation, primitives, integrales et convexite, avec rappels et exemples corriges.

Mis à jour en juin 2026

L’analyse est le coeur du programme de Terminale et de l’epreuve de specialite. Cette fiche reunit l’essentiel pour reviser : limites, continuite et TVI, derivation, primitives et integrales, et enfin convexite. Pour chaque notion, un rappel court et un exemple recalcule, pour aller a l’essentiel avant le bac.

Objectifs

A la fin de cette fiche, tu sais :

calculer une limite et lever une forme indeterminee simple ;
appliquer le theoreme des valeurs intermediaires et son corollaire (existence et unicite d’une solution) ;
utiliser la derivee pour etudier les variations et trouver une tangente ;
determiner une primitive et calculer une integrale ;
etudier la convexite d’une fonction avec la derivee seconde.

A quoi ca sert pour le bac ?

L’analyse, c’est la moitie des points de l’epreuve de specialite. Le jour J, tu enchaines souvent les memes etapes sur une meme fonction : tu calcules une limite aux bornes pour trouver les asymptotes, tu derives pour dresser le tableau de variations, tu invoques le TVI pour justifier qu’une equation a une solution, puis tu termines par une integrale (aire ou valeur moyenne). Maitriser cette chaine, c’est securiser une grosse partie de ta note.

Rappels : limites

Limites usuelles : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{n} = +\infty$ , $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ , $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty$ .
Polynome a l’infini : limite egale a celle du terme de plus haut degre.
Asymptotes : si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (reel), la droite $y = L$ est asymptote horizontale ; si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale.
Formes indeterminees : $\infty - \infty$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$ ne se concluent pas directement, il faut factoriser puis simplifier.

Exemple : une limite avec forme indeterminee

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^{2} + 3x}{x^{2} - 1}$ .

En $+\infty$ , le numerateur et le denominateur tendent vers $+\infty$ : c’est une forme indeterminee $\dfrac{\infty}{\infty}$ .
On factorise par le terme de plus haut degre, $x^{2}$ , en haut et en bas : $\dfrac{2x^{2} + 3x}{x^{2} - 1} = \dfrac{x^{2}\left(2 + \dfrac{3}{x}\right)}{x^{2}\left(1 - \dfrac{1}{x^{2}}\right)} = \dfrac{2 + \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}.$
Quand $x \to +\infty$ , $\dfrac{3}{x} \to 0$ et $\dfrac{1}{x^{2}} \to 0$ , donc l’expression tend vers $\dfrac{2 + 0}{1 - 0} = 2$ .

Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^{2} + 3x}{x^{2} - 1} = 2$ , et la droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ .

Rappels : continuite et TVI

Une fonction est continue sur $I$ si, en tout point $a$ , $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : on trace la courbe sans lever le crayon. Polynomes, fonctions rationnelles, $\sqrt{x}$ , $e^{x}$ et $\ln x$ sont continues sur leur domaine.
Derivable $\Rightarrow$ continue (la reciproque est fausse).
TVI : si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors $f(x) = k$ a au moins une solution dans $[a\,;\,b]$ .
Corollaire : si en plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.

Exemple : existence et unicite d'une solution (TVI)

Montrer que l’equation $f(x) = 0$ , avec $f(x) = x^{3} + x - 1$ , admet une unique solution sur $[0\,;\,1]$ .

$f$ est un polynome, donc continue sur $[0\,;\,1]$ .
$f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0$ sur $[0\,;\,1]$ : $f$ est strictement croissante.
Aux bornes : $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1$ et $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1$ . Or $0$ est compris entre $-1$ et $1$ .
$f$ est continue et strictement monotone, et $0$ est entre $f(0)$ et $f(1)$ .

Conclusion : d’apres le corollaire du TVI, l’equation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;\,1]$ .

Rappels : derivation

Derivees usuelles : $\big(x^{n}\big)' = n\,x^{n-1}$ , $\big(\sqrt{x}\big)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $\big(e^{x}\big)' = e^{x}$ , $\big(\ln x\big)' = \dfrac{1}{x}$ .
Operations : $(u + v)' = u' + v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$ .
Signe de $f'$ et variations : si $f' > 0$ sur $I$ , $f$ est croissante ; si $f' < 0$ , $f$ est decroissante.
Tangente au point d’abscisse $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Exemple : equation d'une tangente

Soit $f(x) = x^{2} - 3x + 2$ . Determiner l’equation de la tangente a la courbe au point d’abscisse $a = 2$ .

On derive : $f'(x) = 2x - 3$ , donc $f'(2) = 2 \times 2 - 3 = 1$ .
On calcule l’ordonnee : $f(2) = 2^{2} - 3 \times 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ .
On applique la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ : $y = 1 \times (x - 2) + 0 = x - 2.$

Conclusion : la tangente au point d’abscisse $2$ a pour equation $y = x - 2$ .

Rappels : primitives et integrales

Une primitive $F$ de $f$ verifie $F'(x) = f(x)$ : c’est l’inverse de la derivation. Deux primitives different d’une constante $+k$ .
Primitives usuelles : $f(x) = x^{n}$ (avec $n \neq -1$ ) donne $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $f(x) = e^{x}$ donne $F(x) = e^{x}$ ; $f(x) = \dfrac{1}{x}$ donne $F(x) = \ln x$ (pour $x > 0$ ).
Integrale : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \big[\,F(x)\,\big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ .
Aire : si $f \geq 0$ sur $[a\,;\,b]$ , l’integrale est l’aire (en unites d’aire) sous la courbe. Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ .

Exemple : calcul d'une integrale

Calculer $\displaystyle\int_{0}^{1} \big(3x^{2} + e^{x}\big)\,dx$ .

On cherche une primitive terme par terme : une primitive de $3x^{2}$ est $3 \times \dfrac{x^{3}}{3} = x^{3}$ , et une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ . Donc $F(x) = x^{3} + e^{x}$ .
On applique $\big[\,F(x)\,\big]_{0}^{1} = F(1) - F(0)$ : $F(1) = 1^{3} + e^{1} = 1 + e, \qquad F(0) = 0^{3} + e^{0} = 0 + 1 = 1.$
On soustrait : $F(1) - F(0) = (1 + e) - 1 = e$ .

Conclusion : $\displaystyle\int_{0}^{1} \big(3x^{2} + e^{x}\big)\,dx = e$ (soit environ $2{,}72$ unites d’aire).

Rappels : convexite

$f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes (elle « tourne vers le haut ») ; elle est concave si sa courbe est en dessous de ses tangentes.
Critere par la derivee seconde : si $f''(x) \geq 0$ sur $I$ , $f$ est convexe ; si $f''(x) \leq 0$ , $f$ est concave.
Un point d’inflexion est un point ou la courbe change de convexite : la derivee seconde $f''$ y change de signe (souvent en s’annulant).

Exemple : convexite et point d'inflexion

Etudier la convexite de $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$ .

On derive deux fois : $f'(x) = 3x^{2} - 6x$ , puis $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$ .
Signe de $f''$ : $f''(x) < 0$ pour $x < 1$ , et $f''(x) > 0$ pour $x > 1$ .
Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,1]$ et convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ . En $x = 1$ , $f''$ change de signe.

Conclusion : $f$ est concave avant $x = 1$ , convexe apres, et la courbe presente un point d’inflexion en $x = 1$ (ou $f(1) = 1 - 3 = -2$ ).

A retenir

La meme fonction sert souvent du debut a la fin d’un exercice. Le reflexe gagnant : limites aux bornes (asymptotes) puis derivee $f'$ pour les variations, TVI pour justifier une solution, derivee seconde $f''$ pour la convexite, et enfin primitive pour l’integrale (aire ou valeur moyenne). Et toujours : une primitive de $x^{n}$ se divise par $n + 1$ , et pour une integrale on calcule $F(b) - F(a)$ dans cet ordre.

S'entraîner sur ces chapitres

Terminale

Limites de fonctions

Cours et exercices →

Terminale

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Cours et exercices →

Terminale

Les primitives

Cours et exercices →

Terminale

Le calcul intégral

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Comment calculer la limite d'un polynome ou d'une fraction rationnelle en l'infini ?

Pour un polynome, la limite en plus ou moins l'infini est celle de son terme de plus haut degre. Pour une fraction rationnelle qui donne une forme indeterminee infini sur infini, on factorise le numerateur et le denominateur par leur terme de plus haut degre, puis on simplifie : la limite est alors le rapport des coefficients dominants si les degres sont egaux.

Quand utilise-t-on le theoreme des valeurs intermediaires et son corollaire ?

On utilise le theoreme des valeurs intermediaires pour prouver qu'une equation f de x egale k admet au moins une solution, lorsque f est continue sur un intervalle et que k est compris entre les valeurs aux bornes. Si en plus f est strictement monotone sur l'intervalle, le corollaire garantit que cette solution est unique. La stricte monotonie se montre avec le signe de la derivee.

Quel est le lien entre primitive, integrale et convexite ?

Une primitive F de f verifie F prime egale f : c'est l'operation inverse de la derivation. L'integrale de f entre a et b se calcule alors par F de b moins F de a. La convexite, elle, vient de la derivee seconde : si f seconde est positive sur un intervalle, la fonction est convexe et sa courbe est au-dessus de ses tangentes ; si f seconde est negative, la fonction est concave.