Terminale · Chapitre 4

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Cours de Terminale sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : continuité sur un intervalle, existence et unicité d'une solution de f(x) = k. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Limites de fonctions

La continuité traduit l’idée d’une courbe qu’on trace « sans lever le crayon ». C’est la propriété qui rend légitime le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), l’outil de référence pour prouver qu’une équation $f(x) = k$ possède une solution - et, avec la stricte monotonie, qu’elle n’en possède qu’une seule.

Fonction continue sur un intervalle

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsque, en tout point $a$ de $I$ , on a :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Concrètement, la courbe de $f$ ne présente aucun saut : on peut la tracer d’un seul trait sur $I$ .

Les fonctions de référence sont continues

Sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition, les fonctions suivantes sont continues :

les fonctions polynômes (continues sur $\mathbb{R}$ ) ;
les fonctions rationnelles (continues sur leur ensemble de définition) ;
la fonction racine carrée $\sqrt{x}$ (sur $[0\,;\,+\infty[$ ) ;
les fonctions exponentielle $e^x$ et logarithme $\ln x$ .

De plus, somme, produit, quotient et composée de fonctions continues restent continus (là où ils sont définis).

Lien dérivabilité / continuité

Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors elle est continue sur $I$ .

La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable (par exemple $x \mapsto |x|$ en $0$ ).

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation

$f(x) = k$

admet au moins une solution dans l’intervalle $[a\,;\,b]$ .

En particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors l’équation $f(x) = 0$ possède au moins une solution entre $a$ et $b$ .

Corollaire : cas strictement monotone (unicité)

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\,b]$ .

Ce corollaire reste valable sur un intervalle ouvert ou infini (par exemple $]a\,;\,b[$ ou $[a\,;\,+\infty[$ ), en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes.

Prouver qu'une équation f(x) = k a une solution unique

Vérifier que $f$ est continue sur l’intervalle considéré (souvent : c’est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ ).
Étudier le signe de $f'$ pour montrer que $f$ est strictement monotone.
Vérifier que $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) de $f$ aux bornes.
Conclure par le corollaire du TVI : la solution existe et elle est unique.

Encadrer la solution par balayage

Pour approcher la solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ , on cherche deux valeurs où $f$ change de signe :

si $f(1) < 0$ et $f(2) > 0$ , alors $\alpha \in \, ]1\,;\,2[$ ;
on affine ensuite avec un pas plus petit : si $f(1{,}2) < 0$ et $f(1{,}3) > 0$ , alors $\alpha \in \, ]1{,}2\,;\,1{,}3[$ .

À chaque étape, l’amplitude de l’encadrement est divisée, ce qui donne une valeur approchée de $\alpha$ aussi précise que voulue.

Les pièges classiques

Le TVI exige la continuité : sur une fonction qui « saute », il ne s’applique pas.
Sans stricte monotonie, le TVI donne l’existence d’une solution, mais pas l’unicité.
Vérifier que $k$ est bien entre $f(a)$ et $f(b)$ : si $k$ est en dehors, le théorème ne conclut rien.
« Au moins une solution » ne veut pas dire « exactement une » : ne pas confondre le théorème et son corollaire.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Appliquer le TVI pour prouver l'existence d'une solution

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 1$ . Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0\,;\,1]$ .

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Existence d'une solution pour un réglage de jeu

Pour optimiser le temps de chargement d'un niveau, un développeur règle un paramètre $x$ (compris entre $1$ et $2$ ) dans la configuration de son serveur de jeu. L'écart entre le temps de chargement obtenu et l'objectif visé est modélisé, en dixièmes de seconde, par $f(x) = x^3 - 2x - 1$ pour $x \in [1\,;\,2]$ . L'écart est nul lorsque le réglage est parfait. Démontrer qu'il existe au moins une valeur de $x$ dans $[1\,;\,2]$ pour laquelle l'écart est nul, c'est-à-dire telle que $f(x) = 0$ .

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Justifier la continuité d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$ . Justifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

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Encadrer la solution par balayage

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 3$ . On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ . Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$ , puis en déduire une valeur approchée de $\alpha$ au dixième.

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Prouver l'unicité d'une solution

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 3x - 5$ . Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[1\,;\,2]$ .

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Rendre une fonction continue en un point

Une appli de streaming calcule un indice de qualité vidéo à l'aide de la fonction $f$ définie pour $x \neq 1$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ , où $x$ est un facteur de débit. La formule n'a pas de sens pour $x = 1$ : on souhaite choisir la valeur $f(1) = a$ qui rend la fonction $f$ continue sur $\mathbb{R}$ tout entier. Déterminer la valeur du réel $a$ .

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Bonus

Nombre de solutions à l'aide du tableau de variations

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x$ . À l'aide du tableau de variations de $f$ , déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ sur $\mathbb{R}$ .

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Seuil de rentabilité : existence, unicité et encadrement

Une créatrice de contenu lance une boutique de sweats en ligne. Pour un prix de vente $x$ (en dizaines d'euros, avec $x \in [0\,;\,1]$ ), son bénéfice mensuel, en milliers d'euros, est modélisé par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ . Le seuil de rentabilité correspond au prix pour lequel le bénéfice est nul. 1) Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;\,1]$ . 2) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$ , puis une valeur approchée de $\alpha$ au dixième.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction continue sur un intervalle ?

Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle lorsqu'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, exponentielle et logarithme sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Si f est continue sur un intervalle [a ; b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a ; b]. En pratique, si f(a) et f(b) sont de signes contraires, l'équation f(x) = 0 a au moins une solution entre a et b.

Comment prouver qu'une équation admet une unique solution ?

On utilise le corollaire du TVI : si f est continue ET strictement monotone sur [a ; b], et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet une solution unique. La stricte monotonie se montre en général grâce au signe de la dérivée f′.