Fiche de révision · Troisième

Revision brevet : geometrie

Fiche de revision brevet en geometrie : Pythagore, Thales, trigonometrie et transformations, avec la methode pour choisir le bon theoreme.

Mis à jour en juin 2026

La géométrie pèse lourd au brevet. Quatre outils reviennent presque à chaque sujet : le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie et les transformations. Le vrai enjeu n’est pas de connaître les formules par cœur, mais de reconnaître la situation pour choisir le bon théorème. Cette fiche fait le tri, avec un mini-exemple recalculé pour chaque cas.

À la fin de cette fiche, je sais

calculer une longueur avec Pythagore (sens direct) et prouver qu’un triangle est rectangle (réciproque) ;
calculer une longueur avec Thalès et démontrer un parallélisme (réciproque) ;
relier un angle et un côté dans un triangle rectangle grâce à la trigonométrie (CAH-SOH-TOA) ;
reconnaître une transformation et savoir ce qu’elle conserve ou modifie ;
surtout, choisir le bon théorème en regardant la figure.

À quoi ça sert ?

Au brevet, on ne te dit presque jamais « utilise Pythagore ». C’est à toi de lire la figure et de décider. Si tu repères vite un triangle rectangle, deux droites parallèles ou un angle à trouver, tu gagnes un temps précieux et tu évites de te lancer dans un calcul qui ne mène nulle part. Pense aussi à la partie 1 (souvent sans calculatrice) : là, on attend surtout que tu saches reconnaître la bonne propriété et conclure proprement.

1. Choisir le bon théorème

Le réflexe : lire la figure d'abord

Avant tout calcul, repère la configuration :

un triangle rectangle + des longueurs $\rightarrow$ Pythagore ;
des droites parallèles coupant deux sécantes (triangle ou papillon) $\rightarrow$ Thalès ;
un triangle rectangle + un angle aigu (connu ou cherché) $\rightarrow$ trigonométrie ;
deux figures identiques ou agrandies/réduites $\rightarrow$ transformation.

Et pour démontrer (et non calculer) : « ce triangle est-il rectangle ? » $\rightarrow$ réciproque de Pythagore ; « ces droites sont-elles parallèles ? » $\rightarrow$ réciproque de Thalès.

Tableau de décision

Ce que demande l’énoncé	Outil à utiliser
Une longueur dans un triangle rectangle (sans angle)	Pythagore (sens direct)
Prouver qu’un triangle est rectangle	Réciproque de Pythagore
Une longueur avec des droites parallèles	Thalès
Prouver que deux droites sont parallèles	Réciproque de Thalès
Une longueur ou un angle avec un angle aigu	Trigonométrie (CAH-SOH-TOA)
Image d’une figure, ce qui est conservé	Transformations

2. Pythagore

Théorème et réciproque

Si $ABC$ est rectangle en $A$ , alors (sens direct) : $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Réciproque : si $[BC]$ est le plus grand côté et que $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors $ABC$ est rectangle en $A$ . Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ , alors (contraposée) le triangle n’est pas rectangle.

Sens direct : calculer l'hypoténuse

$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 5$ cm et $AC = 12$ cm. On cherche l’hypoténuse $BC$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $BC = \sqrt{169} = 13$

$BC = 13$ cm.

Réciproque : le triangle est-il rectangle ?

Un triangle a pour côtés $9$ cm, $12$ cm et $15$ cm. Le plus grand côté mesure $15$ cm. On calcule séparément : $d_1 = 15^2 = 225 \qquad\text{et}\qquad d_2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ Comme $d_1 = d_2$ , la réciproque de Pythagore s’applique.

Le triangle est rectangle, et l’angle droit est au sommet opposé au côté de $15$ cm.

Additionner ou soustraire ?

Hypoténuse cherchée $\rightarrow$ on additionne les carrés ; côté de l’angle droit cherché $\rightarrow$ on soustrait ( $AC^2 = BC^2 - AB^2$ ). Et jamais sans la racine carrée à la fin. Connais les triplets $3 - 4 - 5$ , $5 - 12 - 13$ et $8 - 15 - 17$ : ils accélèrent les vérifications.

3. Thalès

Théorème et réciproque

Deux droites sécantes en $A$ ; $M$ sur $(AB)$ , $N$ sur $(AC)$ . Si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , alors : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Réciproque : si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ et que $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont rangés dans le même ordre, alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Calculer une longueur avec Thalès

$(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . On donne $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm et $BC = 8$ cm. On cherche $MN$ . On garde les deux rapports utiles : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{MN}{8}$ Par produit en croix : $MN = \dfrac{3 \times 8}{5} = \dfrac{24}{5} = 4{,}8$

$MN = 4{,}8$ cm.

Bien apparier les longueurs

Au numérateur, les segments qui partent de $A$ ( $AM$ , $AN$ , $MN$ ) ; au dénominateur, les segments du grand triangle ( $AB$ , $AC$ , $BC$ ). Si l’énoncé donne $AM$ et $MB$ , alors $AB = AM + MB$ . Pour la réciproque, ne jamais oublier de vérifier l’ordre des points.

4. Trigonométrie

Les trois rapports : CAH-SOH-TOA

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$ : $\cos\widehat{B} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin\widehat{B} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan\widehat{B} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

CAH, SOH, TOA : Cosinus-Adjacent-Hypoténuse, Sinus-Opposé-Hypoténuse, Tangente-Opposé-Adjacent.

Calculer une longueur (angle et hypoténuse connus)

$ABC$ rectangle en $A$ , $\widehat{B} = 30°$ et l’hypoténuse $BC = 10$ cm. On cherche $AB$ , côté adjacent à $\widehat{B}$ . On utilise le cosinus : $\cos(30°) = \dfrac{AB}{10} \quad\Longrightarrow\quad AB = 10 \times \cos(30°) \approx 8{,}7$

$AB \approx 8{,}7$ cm (calculatrice en mode degré, arrondi au dixième).

Calculer un angle (deux côtés connus)

Dans un triangle rectangle, pour l’angle aigu $\widehat{B}$ , le côté opposé mesure $3$ cm et le côté adjacent $4$ cm. On utilise la tangente : $\tan\widehat{B} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \quad\Longrightarrow\quad \widehat{B} = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$

$\widehat{B} \approx 36{,}9°$ (touche inverse de la tangente, mode degré).

Deux contrôles rapides

Un cosinus ou un sinus est toujours compris entre $0$ et $1$ : si tu trouves plus que $1$ , c’est une erreur. Et vérifie le mode de la calculatrice : il doit afficher DEG (degrés), pas RAD.

5. Transformations

Ce que conserve chaque transformation

Transformation	Longueurs	Angles
Symétrie axiale	conservées	conservés
Symétrie centrale	conservées	conservés
Translation	conservées	conservés
Rotation	conservées	conservés
Homothétie (rapport $k$ )	$\times \lvert k \rvert$	conservés

Les symétries, la translation et la rotation sont des isométries (même taille). Seule l’homothétie change les longueurs.

Effet d'une homothétie sur l'aire

On agrandit une figure par une homothétie de rapport $k = 2$ . Les longueurs sont multipliées par $|k| = 2$ , mais l’aire est multipliée par $k^2$ : $k^2 = 2^2 = 4$

L’aire est multipliée par $4$ (et le périmètre seulement par $2$ ).

Reconnaître la bonne transformation

Même taille ? Sinon c’est une homothétie. Même taille mais figure retournée (effet miroir) $\rightarrow$ symétrie axiale. Sinon, simple glissement $\rightarrow$ translation ; sinon elle a tourné $\rightarrow$ rotation (ou symétrie centrale pour un demi-tour). Attention : l’aire est multipliée par $k^2$ , pas par $k$ .

Les confusions qui coûtent des points

Pythagore au lieu de Thalès (ou l’inverse) : Pythagore vit dans un triangle rectangle ; Thalès, dès qu’il y a des droites parallèles. Lis la figure avant de calculer.
Théorème au lieu de réciproque : pour calculer une longueur, on suppose l’hypothèse (rectangle, parallèle) donnée ; pour la démontrer, on calcule les deux membres séparément puis on compare.
Trigo sans triangle rectangle : CAH-SOH-TOA n’est valable que dans un triangle rectangle.
Aire d’une homothétie : elle est multipliée par $k^2$ , et non par $k$ .

S'entraîner sur ces chapitres

Troisième

Théorème de Pythagore

Cours et exercices →

Troisième

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Cours et exercices →

Troisième

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Cours et exercices →

Troisième

Les transformations du plan

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Pythagore ou Thales : comment savoir quel theoreme utiliser au brevet ?

On regarde la figure. S'il y a un triangle rectangle et que l'on travaille sur les longueurs de ses cotes, on utilise Pythagore. S'il y a deux droites paralleles qui coupent deux droites secantes (configuration triangle ou papillon), on utilise Thales. Et si la figure presente un triangle rectangle avec un angle aigu connu ou cherche, alors c'est la trigonometrie qui relie l'angle aux cotes.

A quoi sert la reciproque d'un theoreme en geometrie ?

La reciproque sert a demontrer une propriete, pas a calculer. La reciproque de Pythagore prouve qu'un triangle est rectangle quand le carre du plus grand cote est egal a la somme des carres des deux autres. La reciproque de Thales prouve que deux droites sont paralleles quand deux rapports de longueurs sont egaux et que les points sont ranges dans le meme ordre. Le theoreme calcule, la reciproque demontre.

Qu'est-ce qu'une transformation conserve au brevet ?

La symetrie axiale, la symetrie centrale, la translation et la rotation conservent toutes les longueurs et tous les angles : ce sont des isometries, la figure garde la meme taille. L'homothetie de rapport k conserve les angles et la forme mais multiplie toutes les longueurs par la valeur absolue de k. Pour une homothetie, le perimetre est multiplie par la valeur absolue de k et l'aire par k au carre.