Troisième · Chapitre 16

Les transformations du plan

Cours de Troisième sur les transformations (brevet) : symétrie axiale et centrale, translation, rotation, homothétie de rapport k et propriétés conservées. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Faire glisser un motif sur une frise, retourner une figure comme dans un miroir, agrandir un plan à l’échelle : toutes ces actions sont des transformations du plan. Une transformation associe à chaque point une image, en suivant une règle précise. Au brevet, on en retient cinq : les deux symétries (axiale et centrale), la translation, la rotation et l’homothétie. L’enjeu est de savoir reconnaître chacune et de connaître ce qu’elle conserve ou modifie.

Symétrie axiale (par rapport à une droite)

La symétrie axiale d’axe une droite $(d)$ transforme un point $M$ en son image $M'$ telle que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[MM']$ .

Concrètement, $(d)$ agit comme un miroir : $M$ et $M'$ sont à la même distance de l’axe, de part et d’autre. Un point situé sur l’axe est sa propre image.

Symétrie centrale (par rapport à un point)

La symétrie centrale de centre un point $O$ transforme un point $M$ en son image $M'$ telle que $O$ soit le milieu du segment $[MM']$ .

C’est exactement un demi-tour (une rotation d’un demi-tour) autour de $O$ . Le centre $O$ est son propre image.

Symétrie centrale dans un repère

Dans un repère, l’image de $M(x\,;\,y)$ par la symétrie de centre $O(x_O\,;\,y_O)$ est le point :

$M'\left(2x_O - x\,;\,2y_O - y\right)$

car $O$ doit être le milieu de $[MM']$ : ses coordonnées sont la moyenne de celles de $M$ et $M'$ .

En particulier, si le centre est l’origine $O(0\,;\,0)$ , alors $M'(-x\,;\,-y)$ .

Translation

Une translation glisse tous les points du plan de la même façon : selon une même direction, un même sens et une même longueur (on parle du « glissement » donné par une flèche).

Si la translation transforme $A$ en $B$ , elle transforme tout point $M$ en $M'$ de telle sorte que $ABM'M$ soit un parallélogramme : tous les points sont déplacés du même « glissement ».

Translation dans un repère

Dans un repère, une translation revient à ajouter les mêmes nombres aux coordonnées de chaque point.

Si une translation ajoute $a$ aux abscisses et $b$ aux ordonnées, alors l’image de $M(x\,;\,y)$ est :

$M'\left(x + a\,;\,y + b\right)$

On trouve $a$ et $b$ grâce à un point dont on connaît l’image : ce sont les différences de coordonnées entre le point et son image.

Rotation

Une rotation est définie par trois éléments : un centre $O$ , un angle et un sens (sens des aiguilles d’une montre, ou sens contraire).

Elle fait tourner chaque point $M$ autour de $O$ d’un même angle : l’image $M'$ vérifie $OM' = OM$ (même distance au centre) et l’angle $\widehat{MOM'}$ est égal à l’angle de la rotation. Le centre $O$ est son propre image.

La symétrie centrale est le cas particulier d’une rotation d’un demi-tour (angle de $180°$ ).

Homothétie de centre O et de rapport k

Une homothétie est définie par un centre $O$ et un nombre $k$ appelé rapport ( $k \neq 0$ ). Elle transforme un point $M$ en $M'$ aligné avec $O$ et $M$ , tel que la distance au centre soit multipliée par $|k|$ : $OM' = |k| \times OM$ .

Si $k > 0$ , l’image $M'$ est du même côté de $O$ que $M$ .
Si $k < 0$ , l’image $M'$ est de l’autre côté de $O$ (comme un demi-tour combiné à l’agrandissement).
Le cas $k = -1$ redonne la symétrie centrale de centre $O$ .

Homothétie : effet sur les longueurs

Par une homothétie de rapport $k$ , toutes les longueurs de la figure sont multipliées par $|k|$ :

$\text{longueur image} = |k| \times \text{longueur de départ}$

si $|k| > 1$ , la figure est agrandie ;
si $0 < |k| < 1$ , la figure est réduite ;
si $|k| = 1$ , les longueurs sont conservées.

L’homothétie produit une figure de même forme (les angles sont conservés) : c’est un agrandissement ou une réduction à l’échelle $|k|$ .

Homothétie : effet sur le périmètre et l'aire

Comme toutes les longueurs sont multipliées par $|k|$ :

le périmètre est multiplié par $|k|$ ;
l’aire est multipliée par $k^2$ (le carré du rapport), car une aire combine deux longueurs.

Par exemple, un rapport $k = 3$ multiplie le périmètre par $3$ mais l’aire par $3^2 = 9$ .

Ce que conservent les transformations

Transformation	Longueurs	Angles	Alignement / parallélisme
Symétrie axiale	conservées	conservés	conservés
Symétrie centrale	conservées	conservés	conservés
Translation	conservées	conservés	conservés
Rotation	conservées	conservés	conservés
Homothétie (rapport $k$ )	× $\lvert k\rvert$	conservés	conservés

Les symétries, la translation et la rotation sont des isométries : elles conservent toutes les longueurs. L’homothétie conserve les angles et la forme, mais multiplie les longueurs par $|k|$ .

Reconnaître une transformation entre deux figures

Les deux figures ont-elles la même taille (longueurs identiques) ?
- Non (l’une est un agrandissement/réduction de l’autre) $\Rightarrow$ homothétie : le rapport $|k|$ est le quotient d’une longueur image par la longueur correspondante de départ.
- Oui $\Rightarrow$ c’est une isométrie, on continue.
La figure a-t-elle été retournée (effet miroir, orientation inversée) ?
- Oui $\Rightarrow$ symétrie axiale : l’axe est la médiatrice de $[MM']$ pour deux points correspondants.
- Non, on continue.
La figure a-t-elle simplement glissé sans tourner ?
- Oui $\Rightarrow$ translation.
- Non, elle a tourné $\Rightarrow$ rotation (ou symétrie centrale si c’est un demi-tour).

Les pièges à éviter

Confondre les centres et axes : une symétrie axiale se fait par rapport à une droite, une symétrie centrale par rapport à un point. Ne pas dire « symétrie par rapport au point $(d)$ ».
Oublier que l’homothétie change les longueurs : seule l’homothétie modifie les longueurs (× $|k|$ ) ; les symétries, la translation et la rotation les conservent.
Confondre l’effet sur l’aire : l’aire est multipliée par $k^2$ , pas par $k$ . Un agrandissement de rapport $2$ quadruple l’aire ( $2^2 = 4$ ).
Mauvais signe en symétrie centrale : l’image de $M(x\,;\,y)$ par la symétrie de centre $O$ est $M'(2x_O - x\,;\,2y_O - y)$ , et non $(x_O - x\,;\,y_O - y)$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Déplacer un bloc dans un éditeur de niveau

Dans l'éditeur de niveau d'un jeu de plateforme, chaque élément est repéré par ses coordonnées dans un quadrillage. Pour décaler tout le décor d'un seul geste, tu appliques une translation. Cette translation déplace un bloc situé en $A(-1\,;\,2)$ vers sa nouvelle position $A'(3\,;\,4)$ . Déterminer les coordonnées de la nouvelle position $P'$ du personnage, initialement placé en $P(6\,;\,-1)$ , après le même déplacement.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Image d'un point par une translation

Dans un repère, on considère la translation qui transforme le point $A(-2\,;\,1)$ en $B(3\,;\,5)$ . Déterminer les coordonnées de l'image $M'$ du point $M(4\,;\,-3)$ par cette translation.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Reconnaître une transformation entre deux figures

Dans un repère, le segment $[AB]$ a pour extrémités $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,3)$ . Son image est le segment $[A'B']$ avec $A'(1\,;\,-2)$ et $B'(4\,;\,-3)$ . Identifier la transformation qui envoie $[AB]$ sur $[A'B']$ et la décrire précisément.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Homothétie : calculer une longueur image

On applique à une figure une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 3$ . Sur la figure de départ, $AB = 4$ cm et $BC = 2{,}5$ cm. On note $A'$ , $B'$ et $C'$ les images respectives de $A$ , $B$ et $C$ . Calculer les longueurs $A'B'$ et $B'C'$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Image d'un point par une symétrie centrale

Dans un repère, on considère la symétrie de centre $O(1\,;\,3)$ . Déterminer les coordonnées de l'image $M'$ du point $M(5\,;\,-2)$ par cette symétrie centrale.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Rotation d'une cabine de grande roue

À la fête foraine, une grande roue tourne autour de son axe central, noté $O$ . Une cabine occupe la position $A$ , à une distance $OA = 12$ m de l'axe. La roue tourne d'un cinquième de tour, ce qui correspond à une rotation de centre $O$ et d'angle $72°$ . On note $A'$ la nouvelle position de la cabine. a. Déterminer la distance $OA'$ entre la cabine et l'axe après la rotation, ainsi que la mesure de l'angle $\widehat{AOA'}$ . b. Sur la structure métallique, une barre relie deux points fixes $A$ et $B$ avec $AB = 4$ m. Que vaut la longueur $A'B'$ de l'image de cette barre ?

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Agrandir un logo : retrouver le rapport et l'aire

Une marque de streetwear veut afficher son logo sur la vitrine d'une boutique. Le logo de départ est un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et l'hypoténuse $BC = 10$ cm. Pour la vitrine, on agrandit ce logo par une homothétie : sur l'image, l'hypoténuse mesure $B'C' = 15$ cm. a. Déterminer le rapport $k$ de l'homothétie. b. En déduire les longueurs $A'B'$ et $A'C'$ de l'image. c. Calculer l'aire du logo de départ, puis celle du logo agrandi.

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Homothétie : effet sur le périmètre et l'aire

Un rectangle a pour dimensions une longueur $L = 6$ cm et une largeur $\ell = 4$ cm. On lui applique une homothétie de rapport $k = 2{,}5$ . Déterminer le périmètre et l'aire du rectangle image, et préciser par quel facteur chacun est multiplié.

Débloquer l'exercice

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

La symétrie axiale est une symétrie par rapport à une droite (un axe) : elle agit comme un miroir et retourne la figure. La symétrie centrale est une symétrie par rapport à un point (le centre) : elle équivaut à un demi-tour autour de ce point. Dans les deux cas, la figure image a exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles que la figure de départ.

Comment trouver l'image d'un point par une translation dans un repère ?

Une translation glisse tous les points de la même façon, selon une direction, un sens et une longueur. Dans un repère, on ajoute les mêmes nombres aux coordonnées : si la translation transforme un point connu en ajoutant a à l'abscisse et b à l'ordonnée, alors l'image de M(x ; y) est le point M'(x + a ; y + b).

Que multiplie une homothétie de rapport k ?

Une homothétie de centre O et de rapport k multiplie toutes les distances au centre par la valeur absolue de k. Sur la figure, toutes les longueurs sont multipliées par |k| : c'est un agrandissement si |k| est supérieur à 1, une réduction si |k| est compris entre 0 et 1. Le périmètre est lui aussi multiplié par |k|, mais l'aire est multipliée par k au carré.