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CAP

Linéaire ou affine : deux offres de stockage cloud

Énoncé

Pour stocker ses photos en ligne, on compare deux offres de stockage cloud selon le nombre de Go xx utilisés (le prix est en euros par mois).

- Offre A : 0,050{,}05 € par Go, sans frais fixes. Le prix est f(x)=0,05×xf(x) = 0{,}05 \times x.
- Offre B : un abonnement fixe de 33 € par mois, plus 0,020{,}02 € par Go. Le prix est g(x)=0,02×x+3g(x) = 0{,}02 \times x + 3.

1. Parmi ff et gg, laquelle est une fonction linéaire ? Justifier.
2. Calculer le prix de chaque offre pour 200200 Go.
3. Pour 200200 Go, quelle offre est la plus avantageuse ?
4. À partir de combien de Go l'offre B devient-elle plus avantageuse que l'offre A ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Une fonction linéaire s'écrit a×xa \times x tout seul (sa courbe passe par l'origine) ; dès qu'il y a un nombre fixe ajouté, comme le +3+ 3, la fonction est affine, pas linéaire.
  2. Pour la question 2, remplace xx par 200200 dans chaque formule ; pour l'offre B, calcule d'abord 0,02×2000{,}02 \times 200 puis ajoute le 33 fixe.
  3. Pour la question 4, les deux offres coûtent pareil quand f(x)=g(x)f(x) = g(x) : écris l'égalité 0,05×x=0,02×x+30{,}05 \times x = 0{,}02 \times x + 3, regroupe les xx d'un côté, puis divise.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la fonction linéaire

    Une fonction est linéaire quand elle s'écrit sous la forme a×xa \times x (sans terme fixe ajouté) : sa courbe est une droite qui passe par l'origine. La fonction f(x)=0,05×xf(x) = 0{,}05 \times x est de cette forme : ff est linéaire (de coefficient 0,050{,}05). La fonction g(x)=0,02×x+3g(x) = 0{,}02 \times x + 3 contient en plus la part fixe +3+ 3 : g(0)=0,02×0+3=3g(0) = 0{,}02 \times 0 + 3 = 3, donc sa courbe ne passe pas par l'origine. gg n'est donc pas linéaire : c'est une fonction affine.

  2. 2. Calculer le prix de l'offre A pour 200 Go

    On cherche l'image de 200200 par ff : on remplace xx par 200200 dans f(x)=0,05×xf(x) = 0{,}05 \times x. Donc f(200)=0,05×200=10f(200) = 0{,}05 \times 200 = 10. L'offre A coûte donc 1010 € pour 200200 Go.

  3. 3. Calculer le prix de l'offre B pour 200 Go

    On cherche l'image de 200200 par gg : on remplace xx par 200200 dans g(x)=0,02×x+3g(x) = 0{,}02 \times x + 3. D'abord la part proportionnelle : 0,02×200=40{,}02 \times 200 = 4 ; puis on ajoute la part fixe : 4+3=74 + 3 = 7. Donc g(200)=7g(200) = 7. L'offre B coûte 77 € pour 200200 Go.

  4. 4. Comparer pour 200 Go

    On compare les deux prix : l'offre A coûte 1010 € et l'offre B coûte 77 €. Or 7<107 < 10, donc pour 200200 Go l'offre B est la plus avantageuse (on économise 10−7=310 - 7 = 3 €).

  5. 5. Chercher le seuil où les deux offres coûtent pareil

    Les deux offres coûtent le même prix lorsque f(x)=g(x)f(x) = g(x), c'est-à-dire 0,05×x=0,02×x+30{,}05 \times x = 0{,}02 \times x + 3. On regroupe les termes en xx en retranchant 0,02×x0{,}02 \times x des deux côtés : 0,05×x−0,02×x=30{,}05 \times x - 0{,}02 \times x = 3, donc 0,03×x=30{,}03 \times x = 3. On divise par 0,030{,}03 : x=30,03=100x = \dfrac{3}{0{,}03} = 100. À 100100 Go, les deux offres coûtent pareil : f(100)=0,05×100=5f(100) = 0{,}05 \times 100 = 5 € et g(100)=0,02×100+3=5g(100) = 0{,}02 \times 100 + 3 = 5 €.

  6. 6. Conclure

    En dessous de 100100 Go, l'offre A (sans frais fixes) reste la moins chère ; au-dessus de 100100 Go, la part fixe de B est compensée par son prix au Go plus bas. L'offre B devient plus avantageuse que l'offre A à partir de 100100 Go.
Réponse finale
f est lineˊaire, g est affine;f(200)=10 € , g(200)=7 €;offre B la plus avantageuse;B avantageuse aˋ partir de x=30,03=100 Gof \text{ est linéaire, } g \text{ est affine} \quad ; \quad f(200) = 10 \ \text{€} \ , \ g(200) = 7 \ \text{€} \quad ; \quad \text{offre B la plus avantageuse} \quad ; \quad \text{B avantageuse à partir de } x = \dfrac{3}{0{,}03} = 100 \ \text{Go}
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