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Rêves Vision
CAP

Seuil de rentabilité d'un atelier d'impression 3D

Énoncé

Un atelier propose un service d'impression 3D. Pour une commande, il y a un coût fixe de mise en route de la machine de 4545 €, plus 2,502{,}50 € de matière par pièce imprimée. Chaque pièce est facturée 77 € au client. On note xx le nombre de pièces de la commande. À partir de combien de pièces la commande devient-elle rentable, c'est-à-dire à partir de combien la recette dépasse le coût ? On déterminera d'abord le nombre de pièces pour lequel recette et coût sont exactement égaux.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Écris séparément la recette (ce que paie le client) et le coût total (la mise en route fixe plus la matière par pièce), chacun en fonction de xx.
  2. Le point d'équilibre se traduit par l'égalité des deux expressions : 7x=45+2,5x7x = 45 + 2{,}5x.
  3. Fais passer les xx du même côté en enlevant 2,5x2{,}5x des deux côtés, puis calcule 454,5\dfrac{45}{4{,}5}. Enfin, réfléchis : à l'égalité on ne gagne rien, donc « rentable » commence à la pièce suivante.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Exprimer la recette et le coût

    Pour xx pièces : la recette est ce que paie le client, soit 7×x=7x7 \times x = 7x (€). Le coût de l'atelier comprend une partie fixe (la mise en route, 4545 €) et une partie qui varie (la matière, 2,50×x2{,}50 \times x), soit 45+2,5x45 + 2{,}5x (€).

  2. 2. Écrire l'équation du point d'équilibre

    Recette et coût sont exactement égaux lorsque leurs expressions sont égales. On écrit donc l'équation : 7x=45+2,5x.7x = 45 + 2{,}5x.

  3. 3. Regrouper les termes en x

    On soustrait 2,5x2{,}5x des deux côtés pour rassembler les xx à gauche : 7x−2,5x=457x - 2{,}5x = 45, donc 4,5x=45.4{,}5x = 45.

  4. 4. Diviser par le coefficient

    Le nombre 4,54{,}5 multiplie xx, on divise donc les deux côtés par 4,54{,}5 : x=454,5x = \dfrac{45}{4{,}5}, on en déduit que x=10.x = 10.

  5. 5. Interpréter et conclure

    Pour 1010 pièces, recette et coût valent chacun 7070 € : la commande ne rapporte ni ne perd rien (recette =7×10=70= 7 \times 10 = 70 € ; coût =45+2,5×10=45+25=70= 45 + 2{,}5 \times 10 = 45 + 25 = 70 €). Pour 1111 pièces, la recette vaut 7777 € et le coût 72,5072{,}50 € : la recette dépasse alors le coût. La commande devient donc rentable à partir de 11 pièces.
Réponse finale
7x=45+2,5x⇒4,5x=45⇒x=454,5=10 pieˋces (eˊquilibre), rentable aˋ partir de 11 pieˋces7x = 45 + 2{,}5x \quad \Rightarrow \quad 4{,}5x = 45 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{45}{4{,}5} = 10 \ \text{pièces (équilibre), rentable à partir de 11 pièces}
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