CAP · Chapitre 4

Problème du premier degré

Cours de CAP sur les équations du premier degré du type ax + b = c : résoudre une équation, mettre un problème en équation (devis, facture, forfait). Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · CAP - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Quand tu lis un devis, une facture de téléphone ou le prix d’un abonnement, il y a presque toujours une partie fixe et une partie qui varie. Combien d’heures de main-d’oeuvre se cachent derrière un montant de facture ? Combien de Go consommés derrière une facture mobile ? L’équation du premier degré est l’outil qui répond à ces questions : on appelle $x$ le nombre cherché, on traduit la situation en une égalité, puis on isole $x$ .

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais reconnaître une équation du premier degré du type $ax + b = c$ .
Je sais résoudre une équation en isolant l’inconnue $x$ , étape par étape.
Je sais mettre un problème en équation : choisir l’inconnue, écrire l’égalité, résoudre.
Je sais vérifier ma solution en la remplaçant dans l’équation de départ.

À quoi ça sert dans ton métier ?

Sur un devis, un plombier facture un déplacement fixe plus un tarif horaire. Sur ta facture mobile, il y a un forfait plus un coût par Go hors forfait. Dans une boutique, le patron part d’un coût de départ plus un coût par article produit.

À chaque fois, c’est la même histoire : un nombre fixe, un nombre qui se répète, et un total. Si tu connais le total mais pas le nombre d’heures (ou d’articles, ou de Go), tu poses une équation et tu la résous. C’est exactement ce que fait un commercial qui retrouve une quantité à partir d’un montant.

Équation, inconnue, solution

Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, presque toujours noté $x$ .

Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l’égalité vraie. Chacune de ces valeurs est appelée une solution.

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s’écrire sous la forme : $ax + b = c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres connus, et $a \neq 0$ .

Le principe de la balance

On peut transformer une équation sans changer ses solutions, à condition de faire la même opération des deux côtés du signe $=$ :

on peut ajouter ou soustraire un même nombre à gauche et à droite ;
on peut multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul.

C’est comme une balance : pour qu’elle reste en équilibre, ce que tu fais d’un côté, tu dois le faire de l’autre.

Résoudre une équation du type ax + b = c

On veut isoler $x$ tout seul d’un côté.

Enlever la partie fixe $b$ : on soustrait $b$ des deux côtés. L’équation devient $ax = c - b$ .
Calculer la différence $c - b$ à droite.
Diviser par $a$ des deux côtés pour obtenir $x$ tout seul : $x = \dfrac{c - b}{a}$ .
Vérifier : on remplace $x$ par la valeur trouvée dans l’équation de départ ; on doit retomber sur l’égalité.

Exemple avec un abonnement à $5$ € la séance plus $12$ € de frais d’inscription, pour un total de $47$ € : on résout $5x + 12 = 47$ .

$5x + 12 = 47$ $5x = 47 - 12$ $5x = 35$ $x = \frac{35}{5} = 7$

Il y a donc $7$ séances. Vérification : $5 \times 7 + 12 = 35 + 12 = 47$ . C’est juste.

Mettre un problème en équation

Devant un énoncé concret, on procède toujours dans cet ordre :

Choisir l’inconnue : repérer la grandeur cherchée et l’appeler $x$ (sans oublier son unité : heures, articles, invités, Go…).
Traduire l’énoncé en une égalité : repérer la partie fixe, la partie qui dépend de $x$ , et le total.
Résoudre l’équation obtenue.
Conclure par une phrase qui répond à la question, et vérifier que le résultat a un sens (pas de nombre négatif d’invités, par exemple).

Exemple : la facture du forfait mobile

Un forfait mobile coûte $8$ € par mois, plus $0{,}12$ € par Go consommé hors forfait. Ce mois-ci, la facture s’élève à $14$ €. Combien de Go ont été consommés hors forfait ?

1. Inconnue. On appelle $x$ le nombre de Go consommés hors forfait.

2. Équation. Partie fixe : $8$ €. Partie qui varie : $0{,}12 \times x$ . Total : $14$ €. Donc : $0{,}12 \, x + 8 = 14$

3. Résolution. $0{,}12 \, x = 14 - 8$ $0{,}12 \, x = 6$ $x = \frac{6}{0{,}12} = 50$

4. Conclusion. $50$ Go ont été consommés hors forfait. Vérification : $0{,}12 \times 50 + 8 = 6 + 8 = 14$ €. C’est cohérent.

Les pièges à éviter

Ne faire l’opération que d’un seul côté. ~~Pour $5x + 12 = 47$ , écrire $5x = 47$ en « oubliant » le $+12$ à droite.~~ FAUX. On enlève $12$ des deux côtés : $5x = 47 - 12 = 35$ . La balance doit rester en équilibre.
Confondre « enlever $b$ » et « diviser par $a$ ». ~~Passer directement de $5x = 35$ à $x = 35 - 5 = 30$ .~~ FAUX. Le $5$ multiplie $x$ , donc on divise : $x = \dfrac{35}{5} = 7$ .
Oublier la virgule des prix. Diviser $6$ par $0{,}12$ ne donne pas $0{,}5$ mais $50$ . Pense à vérifier l’ordre de grandeur : $50$ Go à $0{,}12$ € font bien $6$ €.
Oublier la phrase de conclusion. Trouver $x = 7$ ne suffit pas : il faut écrire « il y a $7$ séances » et vérifier dans l’équation de départ.

Le réflexe qui sécurise

Vérifie toujours ta solution en la remettant dans l’équation de départ : si les deux côtés donnent le même nombre, c’est gagné. Et garde en tête l’ordre des opérations pour isoler $x$ : on enlève d’abord la partie fixe (le $+b$ ), puis on s’occupe du coefficient (le $\times a$ ) en divisant.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Combien de missions pour gagner ses Robux

Sur un jeu Roblox, un joueur reçoit $79$ Robux offerts en se connectant, puis $4$ Robux à chaque mission terminée. À la fin de la journée, son solde affiche $199$ Robux. Son gain total s'écrit $4x + 79 = 199$ , où $x$ est le nombre de missions terminées. Combien de missions a-t-il terminées ?

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Résoudre une équation d'abonnement

Une salle d'escalade facture chaque séance au même prix, plus des frais d'inscription fixes de $12$ €. Pour un client, le total des séances et de l'inscription est modélisé par l'équation $5x + 12 = 47$ , où $x$ est le nombre de séances. Résoudre l'équation $5x + 12 = 47$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Retrouver le nombre d'heures d'une facture

Un dépanneur facture un déplacement fixe de $40$ €, plus $35$ € par heure de main-d'oeuvre. Sa facture totale s'écrit $40 + 35h = 145$ , où $h$ est le nombre d'heures travaillées. Combien d'heures de main-d'oeuvre ont été facturées ?

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Bénéfice sur la revente de sneakers

Pour lancer son activité de revente, un jeune achète un lot de paires de sneakers pour $240$ € au total. Il revend ensuite chaque paire $65$ €. Il vise un bénéfice de $410$ €, c'est-à-dire la somme des ventes diminuée du coût du lot. On note $x$ le nombre de paires vendues. Combien de paires doit-il vendre pour atteindre ce bénéfice ?

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Comparer deux offres de salle de sport

Une salle de sport propose deux offres pour un mois. Offre A : $25$ € par séance, sans abonnement. Offre B : un abonnement de $60$ €, puis $10$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances dans le mois. Pour combien de séances les deux offres coûtent-elles exactement le même prix ?

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Mettre en équation une facture de téléphone

Un forfait téléphone coûte $8$ € par mois, plus $0{,}12$ € pour chaque Go consommé hors forfait. Ce mois-ci, la facture s'élève à $14$ €. En appelant $x$ le nombre de Go consommés hors forfait, mettre la situation en équation, puis trouver le nombre de Go.

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Budget événementiel : nombre maximal d'invités

Pour organiser une soirée d'entreprise, on loue une salle à $300$ € et un traiteur facture $18$ € par invité. Le budget total ne doit pas dépasser $1\,200$ €. On note $x$ le nombre d'invités. En écrivant que la dépense totale atteint exactement le budget de $1\,200$ €, déterminer le nombre maximal d'invités que l'on peut accueillir.

Débloquer l'exercice

Gratuit · corrigé

Seuil de rentabilité d'un atelier d'impression 3D

Un atelier propose un service d'impression 3D. Pour une commande, il y a un coût fixe de mise en route de la machine de $45$ €, plus $2{,}50$ € de matière par pièce imprimée. Chaque pièce est facturée $7$ € au client. On note $x$ le nombre de pièces de la commande. À partir de combien de pièces la commande devient-elle rentable, c'est-à-dire à partir de combien la recette dépasse le coût ? On déterminera d'abord le nombre de pièces pour lequel recette et coût sont exactement égaux.

Voir l'exercice corrigé

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

C'est une égalité qui contient un nombre inconnu, souvent appelé x, et qui peut s'écrire sous la forme a fois x plus b égale c. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie. Par exemple, dans 5 fois x plus 12 égale 47, la solution est x égale 7, car 5 fois 7 plus 12 fait bien 47.

Comment résoudre une équation du type ax plus b égale c ?

On isole le terme avec l'inconnue en enlevant b des deux côtés, ce qui donne a fois x égale c moins b. Puis on divise les deux côtés par a pour obtenir x tout seul. On fait toujours la même opération à gauche et à droite de l'égalité pour garder l'équilibre, comme une balance.

Comment mettre un problème en équation ?

On choisit d'abord la grandeur cherchée et on l'appelle x, par exemple le nombre d'heures ou le nombre d'invités. Ensuite on traduit l'énoncé en une égalité avec ce x, puis on résout cette équation. Enfin, on vérifie que le résultat trouvé a un sens dans la situation de départ.